Содержание
-
Занимательная математика
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Урок на тему: Числовая окружность.
-
Числовая окружность.
Что будем изучать: Числовая окружность в жизни. Определение числовой окружности. Общий вид числовой окружности. Длина числовой окружности. Местонахождение основных точек окружности. Примеры задач.
-
Числовая окружность в жизни. В реальной жизни часто встречается движение по окружности. Например в спорте: соревнования велосипедистов, которые проезжают определенный круг на время или соревнования гоночных автомобилей которым надо проехать наибольшее количество кругов за отведенное время.
-
Числовая окружность в жизни. Рассмотрим конкретный пример. Бегун бежит по кругу длиной 400 метров. Спортсмен стартует в точке А (рис. 1) и движется против часовой стрелки. Где он будет находится через 200м, 800м, 1500м.? А где провести финишную черту если бегуну пробежать 4195м.? Рисунок 1. Через 200м. бегун будет находиться в точке С, так как он пробежит ровно половину дистанции. Пробежав 800м., бегун сделает ровно два круга и окажется в точке А. 1500м. это 3 круга по 400 м (1200м.) и еще 300 метров, то есть ¾ от беговой дорожки, финиш этой дистанции в точке D. Где будет находиться наш бегун пробежав 4195м.? 10 кругов это 4000 метров, останется пробежать 195 метров, это на 5 метров меньше чем половина дистанции. Значит финиш будет в точки М, расположенной около точки С. Решение:
-
Определение. Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам. Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.
-
Общий вид числовой окружности. 1) Радиус окружности принимается за единицу измерения. 2) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка. Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка. Диаметры АС и BD делят окружность на четыре четвери: первая четверть – это дуга AB вторая четверть – дуга BC третья четверть – дуга CD четвертая четверть – дуга DA 3) Начальная точка числовой окружности – точка А. Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением.Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.
-
Длина числовой окружности. Длина числовой окружностивычисляется по формуле: Так как единичная окружность то Если взять то длина окружности может быть выражена числом Длина каждой четверти равна
-
Местонахождение основных точек окружности. Основные точки на окружности и их имена представлены на рисунке: Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части и около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует. Для числовой окружности верно следующее утверждение: Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то она соответствует и числу вида t+2π •k, где k – целое число Важно! М(t) = M(t+2π •k)
-
Пример В единичной окружности дуга АВ разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р — на три равные части. Чему равна длина дуги: AM, МВ, АК, КР, РB, АР, КМ? Длина дуги АВ = π/2, разделив ее на две равные части точкой М, получим две дуги, длиной — π/4 каждая. Значит, AM = МВ = π/4 Дуга АВ разбита на три равные части точками К и Р, то длина каждой полученной части равна 1/3 · π/2, т. е. π/6 значит, АК = КР = РВ = π/6. Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной — π/6. Значит, АР = 2 • π/6 = π/3 Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги AM исключением дуги АК. Таким образом, КМ = AM – АК = π/4 - π/6 = π/12
-
Пример Найти на числовой окружности точку которая соответствует заданному числу: 2π ,7π/2 , π/4 ,-3π/2. Решение: Числу2π соответствует точка А, т.к. пройдя по окружности путь длиной 2π, т.е. ровно одну окружность, мы опять попадем в точку А Числу7π/2 соответствует точка D, т.к. 7π/2= 2π +3π/2, т.е. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти целую окружность и дополнительно путь длиной 3π/2, который закончится в точке D Числуπ/4 соответствует точка М, т.к. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти путь в половину дуги АВ длиной π/2, который закончится в точке M. Числу-3π/2 соответствует точка В, т.к. двигаясь в отрицательном направлении из точки А, нужно пройти путь длиной 3π/2, который закончится в точке В
-
Пример Найти на числовой окружности точки а) 21π/4 б) -37π/6 Решение: Пользуясь формулой что число М(t) = M(t+2π •k) (8 слайд) получим а) 21π/4 = (4+5/4)•π = 4π + 5π/4 = 2 • 2π + 5π/4, значит числу 21π/4 соответствует такое же число что и числу 5/4π - середина третьей четверти. б) -37π/6 = -(6+1/6)•π = -(6π + π/6) = -3 • 2π - π /6, значит числу -37π/6 соответствует такое же число что и числу - 1/6π, тоже самое что и 11π /6.
-
Пример Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге: а) ВА б) МK Решение: а)Дуга ВА - это дуга с началом в точке В и концом в точке А при движении по окружности против часовой стрелки. Точка В соответственно равнаπ/2, а точка А равна 2π. Значит для точек t имеем: π/2 ≤ t≤ 2π. Но согласно формуле на слайде 8 числам π/2 и 2π соответствуют числа вида π/2+2π •kи 2π+2π •k, соответственно. Тогда наше число t принимает значения: π/2 +2π •k ≤ t≤ 2π +2π •k, где к – целое число б)Дуга МK - это дуга с началом в точке М и концом в точке К. Точка М соответственно равна-3π/4, а точка К равна π/4. Значит для точек t имеем:-3π/4 ≤ t≤π/4. Но согласно формуле на слайде 8 числам -3π/4 иπ/4 соответствуют числа вида -3π/4+2π •kиπ/4+2π •k, соответственно. Тогда наше число t принимает значения: -3π/4 +2π •k ≤ t≤π/4 +2π •k, где к – целое число
-
Числовая окружность. Задачи для самостоятельного решения. 1)В единичной окружности дуга ВС разделена точкой Т на две равные части, а точками К и Р — на три равные части. Чему равна длина дуги: ВТ, ТС, ВК, КР, РС, ВР, КТ? 2)Найти на числовой окружности точку которая соответствует заданному числу: π ,11π/2 ,21π/4 ,-7π/2, 17π/6. 3)Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге: а) АВ б) АС в) PM, где P – середина дуги АВ, М - середина DA
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.