Содержание
-
ГОУ средняя общеобразовательная школа № 80 с углубленным изучением английского языка Петроградского административного района г. Санкт- Петербурга
-
Введение в комбинаторику
Разработка уроков для7класса. Работа выполнена учителем математики высшей категории Вашкевич Татьяной Сергеевной
-
Основная цель –развить комбинаторное мышление, сформировать умение организованного перебора упорядоченных и неупорядоченных комбинаций из двух – трех элементов.
В данной теме интегрируются арифметические, начальные алгебраические и геометрические знания учащихся. Рассматриваются исторические комбинаторные задачи, способы составления фигурных чисел, магических и латинских квадратов, выводится формула n – го треугольного числа. В ходе организованного перебора различных комбинаций элементов двух множеств обосновывается правило произведения. С его помощью решаются простейшие комбинаторные задачи.
-
Планирование уроков
Исторические комбинаторные задачи – 1 час Различные комбинации из трех элементов – 2 часа Таблица вариантов и правило произведения- 2 часа Подсчет вариантов с помощью графов – 1 час
-
Урок № 1.Тема урока: «Исторические комбинаторные задачи»
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой. С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.
-
Фигурные числа
В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры.
-
Квадратные числа: 1,4,16,25… 1 2*2=2 =4 3*3=3 =9 4*4=4 =16 5*5=5 =25 Nкв =n²
-
Треугольные числа 1 1+2=3 1+2+3=5 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 Nтр = (n(n+1))/ 2
-
Пятиугольные числа Nпят = n + 3(n(n-1)/2) 1 5 12 22
-
Прямоугольные числа- составные числа, которые древние представляли в виде прямоугольников. Представления числа 12 выглядели так 12 12
-
Непрямоугольные числа – простые числа, которые древние представляли в виде линий. 3 7
-
Магические квадраты
-
Латинские квадраты
Латинскими квадратами называют квадраты размером n x n клеток, в которых записаны натуральные числа от 1 до n, причем таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу.
-
Задачи
Посчитать число однобуквенных слов русского языка. Записать первые двенадцать квадратных чисел. Записать первые десять треугольных чисел. Составить латинский квадрат.
-
Домашнее задание
1.Записать n- е по порядку кв. число, если: 1) n =20; 2) n =25 3) n =31; 2. Записать n-е по порядку треугольное число, если: 1) n=20; 2) n=33; 3) n=34; 3. Изобразить в древних традициях всеми возможными способами составное число: 1) 6; 2) 8; 3) 18; 4) 20; 4. Продолжить построение магического квадрата:
-
Задачи
1)Однобуквенных слов русского языка 11: а, б, в, ж, и, к, о, с, у, э, я.
-
2) 1, 4, 9, 16,25, 36, 49, 64, 81, 100, 121
-
3) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.
-
Уроки № 2-3Тема урока: «Различные комбинации из трех элементов»
Нередко в жизни бывают ситуации, когда задача имеет не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, а может быть, и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации.
-
Сочетания
Задача № 1 Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?
-
Антон и Борис Антон и Виктор Борис и Виктор Ответ: 3 варианта.
-
Вывод: В задаче были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два: пары элементов из имеющихся трех элементов. Пары отличались друг от друга только составом элементов, а порядок расположения элементов в паре не учитывался.
-
Размещения
Задача № 2 Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-ое и 2-ое места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов (способов) занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.
-
-
Вывод: В задаче из трех элементов выбирались пары элементов и фиксировался их порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по два.
-
Перестановки
Задача № 3 Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили 3 билета на футбол на 1-ое, 2-ое и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?
-
-
Вывод: В задаче были составлены всевозможные перестановки из трех элементов – комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов.
-
Устные задачи
1) Сколько подарочных наборов можно составить: а) из одного предмета; б) из двух предметов, если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени? 2) Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?
-
Задачи
1) Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 при условии, что цифры в числе: а) должны быть различными; б) могут повторяться?
-
Решение
а) Способ составления трехзначных чисел из 3 различных цифр аналогичен способу записи троек букв в задаче 3: 123, 213, 132, 312, 231, 321. Получили 6 чисел.
-
б) Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выпишем все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3: 111 112 113 211 212 213 311 312 313 121 122 123 221 222 223 321 322 323 131 132 133 231 232 233 331 332 333 Получили 27 чисел.
-
Задачи
§2 «Различные комбинации из трех элементов» На уроках решаются задачи №№ 3, 5, 7, 9, 11. Домашнее задание №№ 2, 4, 6, 8, 10.
-
Уроки № 4 – 5Тема урока: «Таблица вариантов и правило произведения»
Для решения комбинаторных задач существуют различные средства, исключающие возможность «потери» какой – либо комбинации элементов. Для подсчета числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов.
-
Таблица вариантов
Задача №1. Записать всевозможные двузначные числа, используя пр этом цифры: 1) 1, 2 и 3; 2) 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N.
-
Для подсчета образующихся чисел составим таблицу:
N = 3·3 = 9
-
N = 3·4=12
-
Таблица вариантов
Задача № 2. Бросаются две игральные кости. Сколько различных пар очков может появиться на верхних гранях костей?
-
С помощью составленной таблицы пар выпавших очков можно утверждать, что число всевозможных пар равно 6·6 = 36
-
Правило произведения.
Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться правилом, которое получило в комбинаторике название «Правило произведения»: если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n·m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.
-
Задача № 3. Катя и Оля приходятв магазин, где продают в любом количестве плитки шоколада трех видов. Каждая девочка покупает по одной плитке. Сколько существует способов покупки?
-
Задача № 3. (решение) Катя может купить плитку любого из трех видов шоколада (n=3). Оля может поступить аналогично (m=3). Пару шоколадок для Кати и для Оли можно составить n·m=3·3=9 различными способами. Ответ: 9 способов.
-
Задача № 4. Имеются три плитки шоколада различных видов. Катя и Оля по очереди выбирают себе по одной плитке. Сколько существует различных способов выбора шоколадок для Кати и Оли?
-
Задача № 4. (решение) Допустим первой шоколадку выбирает Катя. У нее есть 3 возможности выбора плитки (n=3). После этого Оля может выбрать одну из двух оставшихся плиток (m=2). Тогда способов выбрать пару шоколадок для Кати и для Оли существует n·m=3·2=6. Ответ: 6 способов.
-
Задача № 5. Сколько существует различных двузначных кодов, составленных с помощью букв А, Б, В, Г и Д, если буквы в коде: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными? А Б В Г Д
-
Задача № 5. (решение) 1) Первой в коде может быть любая из данных букв (n=5), а второй – также любая из пяти (m=5). Согласно правилу произведения число всевозможных букв (с возможным их повторением в паре) равно n·m=5·5=25.
-
Задача № 5. (решение) 2) Первой в коде может быть любая из пяти данных букв (n=5), а второй – любая из четырех, отличных от первой (m=4). Согласно правилу произведения число двузначных кодов с различными буквами будет равно n·m=5·4=20. Ответ: 1) 25; 2) 20.
-
Задачи
§3 «Таблица вариантов и правило произведения» На уроках решаются задачи №№ 3, 5, 7, 9, 11. Домашнее задание №№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.
-
Урок№ 6Тема урока: «Подсчет вариантов с помощью графов»
Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов несложно, когда их количество невелико. Однако, когда их количество больше, например, 20, то при переборе легко упустить какую-либо из них. Нередко подсчет вариантов облегчают графы. Графы – геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).
-
Подсчет вариантов с помощью графов
Приведем примеры различных графов 1 2 4 3 A B C D E Иван Борис Татьяна Иван Ольга Сергей Галина
-
Полный граф
Задача № 1 Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно? Решим задачу с помощью полного графа. Вершины – первые буквы имен мальчиков, а отрезки-ребра обозначают шахматные партии.
-
А Б В Г Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6. Ответ: 6 партий.
-
Задача № 2 Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?
-
А Б В Г С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т. е. 6·2=12. Столько же было подарено фотографий. Ответ: 12 фотографий.
-
Граф - дерево
Задача № 3 Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?
-
Способы 1 место 2 место 3 место Упорядоченные тройки А А А А А Б Б Б Б Б В В В В В АБВ АВБ БАВ БВА ВАБ ВБА Ответ: 6 способов.
-
Задача № 4 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, если цифры в числе могут повторяться? 213 543 753 849 109 760 376 934 875 777 201 213 543 753 849 109 760 376 934 875 777
-
Варианты 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Образовавшееся число 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222 Ответ: 18 чисел
-
Задачи
§ 4 «Подсчет вариантов с помощью графов» На уроках решаются задачи №№ 3, 5, 7, 9, 11. Домашнее задание №№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.
-
Контрольная работа
1 вариант С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться. Анна, Белла и Вера купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти места. У лесника три собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.
-
2 вариант Перечислить все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 8, 9 и 0, если: а) одинаковых цифр в числах не должно быть; б) цифры в числах могут повторяться. Из трех стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать. У Марии 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Марии?
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.