Презентация на тему "Капризная формула" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Тема урока: «Капризная формула»

  Цель:доказать иисследовать формулу Эйлера для произвольных многогранников, рассмотреть условия ее существования и применения.

• 
  Слайд 2

  Выпуклые многогранники

• 
  Слайд 3
  

  1752 год

• 
  Слайд 4

  Простое добавление

  1: В –Р + Г = 6 – 9+ 5 =2 (1 + 2): В – Р + Г = 7 – 12 + 7 = 2 1: В – Р + Г = 8 – 12 + 6 = 2 (1 + 2): В – Р + Г = 14 – 21 + 9 = 2 2 1

• 
  Слайд 5

  Сложное добавление

  1: В –Р + Г = 8 – 13+ 7 =2 (1 + 2): В – Р + Г = 8 – 13 + 7 = 2 1: В – Р + Г = 7 –12+ 7 =2 (1 + 2): В – Р + Г = 6 – 9 + 5 = 2 1 2 1 2

• 
  Слайд 6

  Многогранники в природе.Кристаллы(др.греческое «кристаллос» - «лёд» )

• 
  Слайд 7

  «Полый куб»открыт швейцарским математиком Симоном Люилье

  Кубик сернистого свинца внутри кристалла полевого шпата В – Р + Г = 16 – 24 + 12 = 4 2

• 
  Слайд 8

  «Картинная рама»

  В – Р + Г = 12 –24+ 12 = 0 2

• 
  Слайд 9

  Тетраэдры – близнецыоткрыты немецким математиком Ф. Гесселем

  В – Р + Г = 6 –11+ 8 = 3 2 В – Р + Г = 7 –12+ 8 = 3 2

• 
  Слайд 10
  

  «Коронованный куб» В – Р + Г = 16 – 24 + 11 =3 2 «Коронованная призма» В – Р + Г= 13 – 20 + 10 = 3 2

• 
  Слайд 11

  Простые многогранники

• 
  Слайд 12
  

  Кристалл кальцита

• 
  Слайд 13
  

  Египетские пирамиды

• 
  Слайд 14
  
• 
  Слайд 15
  
• 
  Слайд 16

  Простой многогранник I рода

  В – Р + Г= 16 – 32 + 16 = 0 2

• 
  Слайд 17

  «Эйлеров каприз»

  В – Р + Г= 16 – 24 + 10 = 2

• 
  Слайд 18

  Условия выполнимостисоотношения Эйлера в пространстве

  Для всякого простого многогранника нулевого рода (нет «дыр»), справедливо В –Р + Г = 2.

• 
  Слайд 19

  Теорема Эйлера – первая теорема топологии

  Топология – раздел геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополнительныхсклеек. Соотношение Эйлера В – Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является топологическим свойством.

• 
  Слайд 20

  Схема московского метро

• 
  Слайд 21

  Генеалогическое древо графа Л.Н.Толстого

• 
  Слайд 22
  
• 
  Слайд 23
  

  В – Р + Г/ = 1 Г/ = Г - 1 Соотношение Эйлера на плоскости

• 
  Слайд 24

  Графы, проекции – тени ребер платоновых тел на плоскость

• 
  Слайд 25
  

  A B C D E F G H C A B D E F G H C A B D E F G H C D H Доказательство теоремы Эйлера

• 
  Слайд 26

  «Сабля Магомета»

  В – Р + Г”= 8 – 12 + 5 = 1 «Распечатанное письмо» Плоские графы В – Р + Г” = 6 – 10 + 5 = 1

• 
  Слайд 27

  Задача о Кёнигсбергских мостах

  В – Р + Г” = 4 – 7 + 4 = 1

• 
  Слайд 28

  Карта мостов

  С D E B A F В – Р + Г” = 6 – 15 + 10 = 1 Замкнутый путь, проходящий по одному разу по всем рёбрам графа, называется эйлеровым циклом.

• 
  Слайд 29

  Условия выполнения эйлерова цикла

  из любой вершины графа должен существовать путь по его ребрам в любую другую вершину (связный граф); а) из каждой вершины должно выходить четное количество рёбер; б) если отбросить условие возвращения в исходную вершину, то можно допустить наличие двух вершин, из которых выходит нечетное количество рёбер (начинать движение с одной из этих вершин, а заканчивать – в другой ).

• 
  Слайд 30
  

  «Домики - колодцы»Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждой избушки к каждому колодцу?

  В – Р + Г’ = 1 В – Р + Г = 2 B = 6, Р = 9,=> Г = 5

• 
  Слайд 31

  Графы, не укладывающиеся на плоскость без пересечения рёбер

  Полный «Домики - колодцы»

• 
  Слайд 32

  Орграфы - графы, в которых все ребра имеют направления

• 
  Слайд 33

  Проектная работа

• 
  Слайд 34

  Задача 1

  Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три. Сколько он имеет вершин и граней, если число рёбер равно 12? Решение: 3В = 2Р, учитывая, что Р=12, имеем: В=8. По теореме Эйлера Г = 2 – В + Р, Г = 2 - 8 + 12= 6. Таким образом, у данного выпуклого многогранника В =8, Р =12, Г =6. Пример: куб.

• 
  Слайд 35

  Задача 2

  Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 рёбер? Решение: 3Г = 2Р, учитывая, что Р=12, имеем: Г=8. По теореме Эйлера В = 2 – Г + Р, В = 2 - 8 + 12= 6. Таким образом, у данного выпуклого многогранника В =6, Р =12, Г =12. Пример: октаэдр.

• 
  Слайд 36
  

  Задача: Существует ли выпуклый многогранник, у которого количества вершин, ребер и граней – простые числа?

  Решение:В – Р + Г =2 Эти три числа В, Р, Г простые, но они все не могут быть нечетными, следовательно, хотя бы одно из чисел В, Р или Г четное, то есть равно 2. Допустим, что у многогранника 2 вершины, или 2 ребра, или 2 грани. Существует ли такой многогранник?

• 
  Слайд 37
  
• 
  Слайд 38

  Домашнее задание

  № 315, 317 Творческая работа: составить граф « Моё генеалогическое древо»

• 
  Слайд 39