Презентация на тему "Теорема Эйлера и ее применение"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Вершины, ребра и грани

  Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г– число граней многогранника.

• 
  Слайд 2

  ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

  Из приведенной таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г= 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для рассмотренных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера. Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

• 
  Слайд 3

  Задача о трех домиках и трех колодцах

  Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу? Ответ: Нет.

• 
  Слайд 4

  Упражнение 1

  Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы? Ответ: Да.

• 
  Слайд 5

  Упражнение 2

  Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды? Ответ: Да.

• 
  Слайд 6

  Упражнение 3

  Приведите пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера. Ответ: Например, куб, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед.

• 
  Слайд 7

  Упражнение 4

  Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Ответ: а) В = 6, Г = 8; б) В = 7, Г = 10.

• 
  Слайд 8

  Упражнение 5

  Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15? Ответ: а) В = 8, Г = 6; б) В = 10, Г = 7.

• 
  Слайд 9

  Упражнение 6

  Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 8, Г = 6, куб.

• 
  Слайд 10

  Упражнение 7

  В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

• 
  Слайд 11

  Упражнение 8

  Чему равна эйлерова характеристика многогранника (В–Р+Г, где В – число вершин, Р – рёбер и Г – граней многогранника), представленного на рисунке? Ответ: 0.

• 
  Слайд 12

  Упражнение 9

  Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда количество вершин станет (В+1), рёбер - (Р+n), граней - (Г+n). В – Р + Г не изменится.

• 
  Слайд 13

  Упражнение 10

  Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет (В+m-1), рёбер - (Р+m), граней - (Г+1). В – Р + Г не изменится.