Презентация на тему "Методы решения тригонометрических уравнений"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  МБОУ «СОШ №6», Дорофеева Лилия Ильинична Алгебра и начала анализа 10 класс

  Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения 5klass.net

• 
  Слайд 2

  Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

  1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение. 2

• 
  Слайд 3

  Задача. Решите уравнение различными способами.

  3 sin x – cos x = 1 ?

• 
  Слайд 4

  Способ первый. Приведение уравнения коднородному.

  4 Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на т.к., если что противоречит тождеству Получим: , . sin x – cos x = 1

• 
  Слайд 5

  Способ второй. Разложение левойчасти уравнения на множители.

  5 Далее так, как в первом способе.

• 
  Слайд 6

  Способ третий. Введение вспомогательного угла.

  6 В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х. sin cos - cos  sin  = sin (-)

• 
  Слайд 7
  

  Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравненияsin x – cosx = 1?

  Покажем однозначность ответов. 7 1-й способ 2-й способ

• 
  Слайд 8
  

  Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

  8 Запишем уравнениеsin x – cosx = 1в виде: Применим формулу разности двух синусов. Далее так, как в третьем способе.

• 
  Слайд 9
  

  Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции.

  9 Возведем обе части уравнения в квадрат: или

• 
  Слайд 10
  

  Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

  Сделаем проверку. 10 Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

• 
  Слайд 11
  

  Способшестой. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1

  11 Ответ: x =  n, n  Z, или cos x =0 sin x = 0 x =  n, n  Z

• 
  Слайд 12

  Способ седьмой. Универсальная подстановка .

  Выражение всех функций через(универсальная подстановка) по формулам: 12 sin x –cosx = 1 Умножим обе части уравнения на

• 
  Слайд 13

  Внимание!Могли потерять корни.Необходимапроверка!

  Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R . При переходе к tg из рассмотрения выпали значения x, при которых tg не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z . Следует проверить , не является ли x =  + n, где n  Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π - 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Z является решением данного уравнения. Ответ:: x=  + n, n  Z, x= +n, n  Z. 13

• 
  Слайд 14

  Способ восьмой. Графический способ решения.

  На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх. 14 sin x = cos x + 1

• 
  Слайд 15

  Проверь себя !

  Решите самостоятельно, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: sin2x +cos2x = 1 15

• 
  Слайд 16

  sin 2x + cos2x = 1

  sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x =  n, n  Z, tg x = 1, Ответ: x =  n, n  Z, Способ: Приведение уравнения к однородному( 1-й способ ). 16

• 
  Слайд 17
  

  sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 0, 2 sin x cos x – 2 sin 2x = 0, Далее так, как первым способом. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ). 17

• 
  Слайд 18

  sin2x + cos2x =1

  Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ). 18

• 
  Слайд 19

  sin 2x + cos2x = 1

  разделим обе части уравнения на , Способ: введение вспомогательного угла (3-й способ). 19

• 
  Слайд 20
  

  возведём обе части уравнения в квадрат, тогда Способ: приведение к квадратному уравнению относительно ( 5-й способ). 20

• 
  Слайд 21
  

  sin 2x + cos2x = 1, sin 22x+ 2sin 2x cos2x +cos2x = 1, 2sin 2x cos2x + 1 = 1, 2sin 2x cos2x = 0, sin 2x = 0, cos2x = 0 , 2x =  n, n  Z ; 2x =+ n, n  Z, x = , n  Z ; x =+, n  Z. Ответ:x= , n  Z; x = +, n  Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ). 21

• 
  Слайд 22

  sin2x + cos2x = 1

  Способ: универсальная подстановка (7-й способ). 22 Ответ:

• 
  Слайд 23

  Оцени себя сам

  Реши уравнения:Ответы: 23 Ключ к ответам:

• 
  Слайд 24

  Предлагаем уравнения для тренировки и самоконтроля

  24 Желаем успеха!