Презентация на тему "Методы решения тригонометрических уравнений" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

  Автор: Кондрашева Светлана Михайловна, учитель математики МОБУ СОШ№28 ст. Вознесенской Лабинского района

• 
  Слайд 2

  АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ:

  тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ; в школьной программе отводится мало времени на изучение данной темы; уравнения повышенной сложности изучаются на факультативных занятиях в ознакомительном порядке.

• 
  Слайд 3

  ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

  изучить методы решения тригонометрических уравнений; исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и заданий различного содержания.

• 
  Слайд 4

  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ:

  - рассмотреть исторические сведения о тригонометрических уравнениях; - изучить общие сведения о простых тригонометрических уравнениях; - изучить методы решения тригонометрических уравнений; - исследовать применение методов решения тригонометрических уравнений к решению уравнений повышенной сложности и заданий на нахождение дополнительных условий; - подготовить упражнения и составить тест для самостоятельного решения учащихся.

• 
  Слайд 5

  ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЙ:

  1.Анализ методов решения тригонометрических уравнений наиболее часто применяемых на практике. 2.Применение различных методов исследования: изучение литературы, материалов учебных интернет – сайтов по данной теме; консультации с преподавателем; применение различных методов решения тригонометрических уравнений на практике. 3. Анализ и подбор заданий для самостоятельного решения разной сложности. 4.Самостоятельное решение уравнений.

• 
  Слайд 6

  ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ:

  1. Из истории тригонометрии. 2. Общие сведения о тригонометрических уравнениях. 3. Методы решения тригонометрических уравнений. 4.Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований. 5. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях. 6. Применение рассмотренных методов решения тригонометрических уравнений. 7. Приложение 1. Тест по теме «Тригонометрические уравнения» и ответы к нему.

• 
  Слайд 7

  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

• 
  Слайд 8
  

  Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций.

  2 sin2 х+ cosх – 1 = 0 2tgх – 3 ctgх – 1 = 0 2 ( 1 - cos2x ) + cosх – 1 = 0, 2 - 2cos2x + cosх – 1 = 0, 2cos2x – cosх – 1 = 0. Пусть cosх = t, где -1≤t≤1, тогда 2 t2 - t – 1 = 0, D = 9, t1= 1 , t2= -0,5 cosх = 1 cosх = -0,5 х = 2πn, nϵZ;х = ± 2π/3 + 2πn, nϵZ Ответ: 2πn, ± 2π/3 + 2πn, nϵZ 2tgх- – 1 = 0, 0= 2 tg2x – tgх – 3 = 0. Пусть tgх = t, тогда 2 t2 - t – 3 = 0 D= 25, t1= 1,5 , t2= -1 tgх = 1,5 tgх = -1 х = arctg 1,5 + πn, nϵZх = -π/4 + πn, nϵZ Ответ: arctg 1,5 + πn, - π/4 + πn, nϵZ

• 
  Слайд 9

  ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ

  4cos2x + cos 2 х= 5 sin4 х+cos22x = 2 4×0,5(1 + cos 2х)+cos2х = 5, 2 + 2cos 2х + cos 2x = 5, cos 2х = 1, 2х = 2 πn, nϵZ, х = πn, nϵZ Ответ: πn, nϵZ ¼(1-cos2x)2+cos2 2x=2, ¼(1-2cos2x+cos2 2x)+cos2 2x=2, 5cos2 2x -2cos2x-7=0. Пусть cos2x=t, тогда 5t2 -2t-7=0, D=144, t1= 1,4, t2= -1, cos2x=-1 X= π/2 + πn, nϵZ

• 
  Слайд 10

  ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ И СЛЕДСТВИЙ ИЗ НИХ:

  sinх+sin3х+sin 5х=0 cos 2х+cos4х –cos 3х = 0 (sin 5X + sinх) + sin 3х =0, 2sin3хcos 2х + sin 3х = 0, sin 3х (2cos 2х+ 1) = 0, sin 3х = 0или2cos 2х + 1 = 0 3х = πn, х =πn/3 , n ϵ Zили cos 2х = - 1/2, х = ± π/3 + πn, n ϵ Z Ответ: πn/3 , ± π/3 + πn, n ϵ Z. (cos 4х+ cos 2х) –cos 3х = 0, 2cos 3х cos х – cos 3х = 0, cos 3х (2cos х - 1) = 0, cos 3х = 0 или 2cosх – 1 = 0; тогда х = π/6 + πn/3или х=± π/3 + 2πn, n ϵ Z Ответ: х = π/6 + πn/3 ,х=± π/3 + 2πn, n ϵ Z

• 
  Слайд 11

  ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ:

  7 sin2 х = 8sinхcosх -cos2x 6 sin2 х+ 3sinXcosX - 2 cos2x = 3 7 sin2 х - 8sin X cos X + cos2x = 0, 7 tg2x - 8tgX + 1 = 0. Пусть tgX = t, тогда7 t2– 8t + 1 = 0 D= 9, t1= 1, t2=1/7. tg X = 1, X =π/4 + πn, n ϵ Z. tgх = 1/7, х = arctg1/7+πn, n ϵ Z Ответ: π/4+ πn, arctg1/4+πn, nϵ Z 3sin2 х +3sinXcosX - 5cos2x = 0, 3 tg2x + 3 tgX – 5 = 0, D = 69, tgx =(√69-3)/6 , tgx= (√69+3)/6 , Ответ: X= arctg ((√69-3)/6 ) + πn, n ϵ Z X = - arctg ((√69+3)/6 ) + πn, n ϵ Z

• 
  Слайд 12
  

  ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЮЩИХ ИСКУССТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

• 
  Слайд 13
  

  умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию

  cos 2X + cos 5X =0,5 + cos 4X(* на cos X ) cos 2Xcos X + cos 5X cos X =0,5 cos X + cos 4Xcos X cos 2X 2cos X + cos 5X2cos X = cos X + cos 4X2cos X 2cos Xcos 2X + 2cos Xcos 5X – 2cos Xcos 4X = cos X cos X + cos 3X + cos 6X + cos 4X–(cos 3X + cos 5X)–cos X = 0 cos 3X + cos 6X + cos 4X – cos 3X – cos 5X = 0 cos 6X – cos 5X + cos 4X = 0, 2cos 5Xcos X – cos 5X = 0, cos 5X (2cos X – 1 ) = 0 cos 5X = 0 или 2cos X – 1 = 0. X = π/10 + πn/5 , n ϵ Z ; X =π/3 + 2πn, n ϵ Z Ответ: X = π/10 + πn/5 , n ϵ Z ; X =π/3 + 2πn, n ϵ Z

• 
  Слайд 14
  

  прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции

  4 – 4cos 2X – 1+cos 4X = 16 sin6 x, 4–4cos2X + 2 cos2 2x - 1 -1 = 16 sin6 x 2–4cos 2X + 2 cos2 2x = 16 sin6 x , -2cos 2X + cos2 2x + 1 = 8sin6 x , cos 2X ( cos 2X - 2 ) = 8 sin6 x – 1 cos 2X ( cos 2X – 2 ) = ( 2 sin2x - 1 )( 4 sin4x + 2 sin2x + 1) cos 2X ( cos 2X – 2 ) =- cos 2X ( 4 sin4x + 2 sin2x + 1) cos 2X ( cos 2X – 2 ) + cos 2X( 4 sin4x + 2 sin2x + 1) = 0 cos 2X ( cos 2X – 2 + 4sin4x + 2sin2x + 1 ) = 0 cos 2X = 0 или sin4x = 0. X = π/4 + πn/2 , n ϵ Z или X = πn, n ϵ Z Ответ: π/4 + πn/2 , n ϵ Z или πn, n ϵ Z

• 
  Слайд 15

  тождественные преобразования одной из частей уравнения:

  sin 5X=-1/4 sinX (sin 5X-sin3X ) + ( sin 3X-sin X ) + sin X = -1/4sin X, 2cos 4Xsin X +2cos 2Xsin X + sin X + 1/4sin X = 0 sin X ( 2cos 4X + 2cos 2X +5/4 ) = 0. sin X= 0, X = πn, n ϵ Z или 2cos 4X +2cos 2X + 5/4 = 0, 2 ( 2 cos22x – 1 ) + 2cos 2X +5/4 = 0, 4 cos22x + 2cos 2X – 2 + 5/4 = 0, 4 cos22x + 2cos 2X – 3/4 =0 16 cos22x + 8cos 2X -3 = 0.Пустьcos 2X= t,тогда16 t2 + 8t –3 = 0, D= 64, t1 = 1/4, t2 =-3/4 сos 2X = 1/4 , cos 2X = -3/4 . X = ± 0,5arccos1/4 + πn, n ϵ Z, X = ± 0,5( π - arccos3/4) + πn/2 , n ϵ Z Ответ: X = πn, ± 0,5arccos1/4+ πn; ± 0,5( π - arccos3/4) + πn/2 , n ϵ Z

• 
  Слайд 16
  

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ