Презентация на тему "Объёмы"

Скачать презентацию (0.65 Мб)
29 загрузок
0.0 оценка

1 из 37

ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Телеграм

Ваша оценка презентации

Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов

0.0

0 оценок

Аннотация к презентации

Скачать презентацию (0.65 Мб). Тема: "Объёмы". Предмет: математика. 37 слайдов. Добавлена в 2017 году.

Формат

pptx (powerpoint)
Количество слайдов

37
Слова

геометрия
Конспект

Отсутствует

Содержание

Слайд 1
Б. Кавальери

Бонавентуре Кавальери (1598 – 1647) принадлежат труды по тригонометрии, логарифмам, геометрической оптике и т.д., но главным делом его жизни была книга «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного», в которой он предложил способ вычисления площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, основанный на сравнении их сечений. Метод вычисления объемов пространственных тел, предложенный Б. Кавальери, называется принципом Кавальери. pptcloud.ru
Слайд 2
Принцип Кавальери

Принцип Кавальери.Если при пересечении двух фигур Ф1 и Ф2 в пространстве плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях получаются фигуры F1 и F2 одинаковой площади, то объемы исходных пространственных фигур равны.
Слайд 3
Объем обобщенного цилиндра

Теорема.Объем обобщенного цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Слайд 4
Объем наклонного параллелепипеда 1

Объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади S грани параллелепипеда на высотуh, проведенную к этой грани, т.е. имеет место формула
Слайд 5
Объем наклонного параллелепипеда 2

Если ребро параллелепипеда равно c и образует с гранью площади S угол , то объем параллелепипеда вычисляется по формуле
Слайд 6
Объем наклонного параллелепипеда 3

Пусть ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны a, b, c. Ребра a и b образуют угол , а ребро c наклонено к плоскости ребер a и b под углом Тогда объем V параллелепипедавыражается формулой
Слайд 7
Упражнение 1

Две противоположные грани параллелепипеда – квадраты со стороной 1. Соединяющее их ребро равно 1 и наклонено к плоскостям этих граней под углом 60о. Найдите объем параллелепипеда. Ответ:
Слайд 8
Упражнение 2

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол 60о и равно 1. Найдите объем параллелепипеда. Ответ:
Слайд 9
Упражнение 3

Три грани параллелепипеда, имеющие общую вершину, являются ромбами со сторонами 1 и острыми углами при этой вершине 60о. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение.Площадь грани ABCD равнаВысота A1E грани ABB1A1равна В треугольнике AEH угол A равен 30о, AE = 0,5.Значит, EH =и, следовательно, высота A1H равна Таким образом, объем равен
Слайд 10
Упражнение 4

В параллелепипеде две грани имеют площади S1и S2, их общее ребро равно a, и они образуют между собой двугранный угол 150о. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение.Пусть площади граней ABCD и BCC1B1равны S1и S2, ребро BC равно a. Тогда высота параллелограмма BCC1B1 равнаS2/a. Высота параллелепипеда, проведенная к грани ABCD, равна Следовательно, объем параллелепипеда равен
Слайд 11
Упражнение 5

В параллелепипеде две грани являются прямоугольниками с площадями 20 см2и 24 см2. Угол между их плоскостями равен 30о. Еще одна грань этого параллелепипеда имеет площадь 15 см2. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 60 см3. Решение.Пусть площади граней ABCD и ADD1A1равны 20 см2и 24 см2. Тогда площадь грани ABB1A1равна 15 см2, а угол A1AB равен 30о. Пусть AD = x. Тогда AB = 20/x, AA1 = 24/x. Имеем равенство Откуда находим x = 4 см. Высота, проведенная к грани ABCD равна половине ребра AA1и равна 3 см.Следовательно, объем параллелепипеда равен 60 см3.
Слайд 12
Упражнение 6

Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть меньше 1, а объем параллелепипеда быть больше 100? Ответ: Нет, объем будет меньше 1.
Слайд 13
Упражнение 7

Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть больше 100, а объем параллелепипеда быть меньше 1? Ответ: Да.
Слайд 14
Упражнение 8*

Какой наибольший объем может иметь параллелепипед, сумма длин ребер которого, выходящих из одной вершины, равна 1? Решение.Обозначим длины ребер, выходящих из одной вершины a, b, c. Воспользуемся тем, что среднее геометрическое трех положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, т.е Из этого неравенства следует, что наибольший объем равен в случае, если параллелепипед – куб со стороной . Ответ: .
Слайд 15
Упражнение 9*

В пространстве даны три параллелепипеда. Как провести плоскость, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две части равного объема? Ответ:Плоскость, проходящая через центры симметрии параллелепипедов.
Слайд 16
Объем наклонной призмы 1

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т.е. имеет место формула где S – площадь основания призмы, h – ее высота.
Слайд 17
Объем наклонной призмы 2

Если боковое ребро призмы равно c и наклонено к плоскости основания под углом , то объем призмы вычисляется по формуле где S – площадь основания призмы.
Слайд 18
Объем наклонной призмы 3

Если боковое ребро призмы равно c, а сечением призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, является многоугольник площади S, то объем призмы вычисляется по формуле Действительно, если призму разрезать по сечению, и нижнюю часть параллельно перенести, поставив на верхнюю, то получим прямую призму с основанием площади S и боковым ребром c.
Слайд 19
Упражнение 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы? Ответ: 1:3.
Слайд 20
Упражнение 2

Треугольная призма пересечена плоскостью, которая проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани в отношении m : n.В каком отношении эта плоскость делит объем призмы? Ответ: m :n.
Слайд 21
Упражнение 3

В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна Q, а расстояние от нее до противоположного ребра равно d. Найдите объем призмы. Ответ: Решение.Пусть площадь грани BCC1B1равна Q. Расстояние от этой грани до прямой AA1равно d. Достроим призму до параллелепипеда A…D1. Его объем равен Qd. Объем призмы составляет половину объема параллелепипеда, т.е. искомый объем равен
Слайд 22
Упражнение 4

Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной 3. Одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна 2. Найдите объем призмы. Ответ: Решение.Проведем диагональ AB1. Имеем: AO = , площадь ромба ABB1A1равна , высота A1H равна Следовательно, объем призмы равен .
Слайд 23
Упражнение 5

В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное a. Площади этих граней равны S1и S2. Найдите объем призмы. Ответ: Решение. Достроим призму до параллелепипеда A…D1. Его объем равен Объем призмы составляет половину объема параллелепипеда, т.е. искомый объем равен
Слайд 24
Упражнение 6

Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 см, а расстояния между ними равны 26 см, 25 см и 17 см. Найдите объем призмы. Ответ: 3060 см3. Решение. Проведем сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Используя формулу Герона найдем площадь сечения. Она равна 204 см2. Объем призмы равен 3060 см3.
Слайд 25
Упражнение 7

Основанием призмы является параллелограмм со сторонами 1, 2 и острым углом30о. Боковые ребра равны 3и составляют с плоскостью основания угол 45о. Найдите объем призмы. Ответ:
Слайд 26
Упражнение 8

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30о. Ответ:
Слайд 27
Упражнение 9

Все ребра правильной шестиугольной призмы равны 1. Одна из боковых граней является прямоугольником и наклонена к плоскости основания под углом 30о. Найдите объем призмы. Ответ:
Слайд 28
Упражнение 10

В основаниях призмы квадраты. Верно ли, что любая плоскость, проходящая через центры квадратов, делит призму на две равновеликие части? Ответ: Да.
Слайд 29
Объем наклонного цилиндра

Объем кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле V=πR2·h.
Слайд 30
Упражнение 1

Диаметр основания цилиндра равен 1. Образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60о. Найдите объем цилиндра. Ответ:
Слайд 31
Упражнение 2

Верно ли, что любая плоскость, проходящая через центры оснований кругового цилиндра, делит его на равновеликие части? Ответ: Да.
Слайд 32
Упражнение 3

Два цилиндра имеют равные высоты, а площадь основания одного в два раза больше площади основания другого. Как относятся их объемы? Ответ: 2:1.
Слайд 33
Обобщенный конус

Пусть F - фигура на плоскости π, и S - точка вне этой плоскости. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с точкой S, образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называтьобобщенным конусом. Фигура F называетсяоснованиемобобщенного конуса, точка S -вершинойобобщенного конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называетсявысотойобобщенного конуса. Частным случаем обобщенного конуса является конус и пирамида. Теорема.Если два обобщенных конуса имеют равные высоты и основания равной площади, то их объемы равны.
Слайд 34
Упражнение 1

Верно ли, что две пирамиды, имеющие общее основание и вершины, расположенные в плоскости, параллельной основанию, равновелики? Ответ: Да.
Слайд 35
Упражнение 2

Два конуса имеют равные высоты, а площадь основания одного в три раза больше площади основания другого. Как относятся их объемы? Ответ: 3:1.
Слайд 36
Упражнение 3

Верно ли, что любая плоскость, проходящая через вершину и центр основания кругового конуса, делит его на равновеликие части? Ответ: Да.
Слайд 37
Упражнение 4

В основании пирамиды квадрат. Верно ли, что любая плоскость, проходящая через вершину пирамиды и центр основания, делит пирамиду на две равновеликие части? Ответ: Да.