Презентация на тему "Объём пирамиды"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

  Теорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту. Доказательство. Рассмотрим случай треугольной пирамиды. Пусть A1ABC треугольная пирамида. Достроим ее до призмы ABCA1B1C1 . Плоскости, проходящие через точки B, C, A1 и C, B1, A1 разбивают эту призму на три пирамиды A1ABC, A1CBB1 и A1CB1C1с вершинами в точке A1. Пирамиды A1CBB1 и A1CB1C1 имеют равные основания CBB1 и CB1C1. Кроме этого, данные пирамиды имеют общую вершину, а их основания лежат в одной плоскости. Значит, эти пирамиды имеют общую высоту. Следовательно, эти пирамиды имеют равные объемы. Рассмотрим теперь пирамиды A1ABC и CA1B1C1. Они имеют равные основания ABC и A1B1C1 и равные высоты. Следовательно, они имеют равные объемы. Таким образом, объемы всех трех пирамид равны. Учитывая, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту, получим формулу объема треугольной пирамиды где S - площадь основания пирамиды, h - ее высота. pptcloud.ru

• 
  Слайд 2
  

  Пусть теперь дана пирамида, в основании которой - многоугольник. Рассмотрим треугольную пирамиду с такой же высотой и такой же площадью основания. По теореме предыдущего параграфа объемы этих пирамид равны и, следовательно, имеет место формула где S - площадь основания пирамиды, h - ее высота.

• 
  Слайд 3

  Упражнение 1

  Найдите объем четырехугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой являются вершины единичного куба. Ответ: 1/3.

• 
  Слайд 4

  Упражнение 2

  Найдите объем треугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой являются вершины единичного куба. Ответ: 1/6.

• 
  Слайд 5

  Упражнение 3

  Вершинами пирамиды являются все вершины одного основания и одна вершина другого основания призмы. Какую часть объема призмы составляет объем пирамиды? Ответ: 1/3.

• 
  Слайд 6

  Упражнение 4

  Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и делит противоположное боковое ребро в отношении 1: 2, считая от вершины. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? Ответ: 1 : 2.

• 
  Слайд 7

  Упражнение 5

  Найдите объем пирамиды, высота которой 3, а в основании - прямоугольник со сторонами 1 и 2. Ответ: 2.

• 
  Слайд 8

  Упражнение 6

  Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 1, высота – 2. Ответ:

• 
  Слайд 9

  Упражнение 7

  В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро 5 м. Найдите ее объем. Ответ: 32 м3.

• 
  Слайд 10

  Упражнение 8

  Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1. Ответ: Решение.Пусть ACS – правильный треугольник. Его высота SO равна Сторона основания равна Следовательно, объем пирамиды равен

• 
  Слайд 11

  Упражнение 9

  Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1. Ответ: Решение.Пусть E – середина ребра BC. В треугольнике ADE AE = DE = Высота DH равна Площадь треугольника ABC равна Следовательно, объем тетраэдра равен

• 
  Слайд 12

  Упражнение 10

  Объем правильной шестиугольной пирамиды 6 см3. Сторона основания 1 см. Найдите боковое ребро. Ответ: 7 см.

• 
  Слайд 13

  Упражнение 11

  Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 1. Найдите объем пирамиды. Ответ: Решение. Примем треугольник ABS за основание пирамиды. Тогда SC будет высотой. Объем пирамиды равен

• 
  Слайд 14

  Упражнение 12

  Найдите объем треугольной пирамиды, если длина каждого ее бокового ребра равна 1, а плоские углы при вершине равны 60°, 90° и 90°. Ответ: Решение. Примем треугольник ABS за основание пирамиды. Тогда SC будет высотой. Объем пирамиды равен

• 
  Слайд 15

  Упражнение 13

  Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 60о. Найдите объем пирамиды. Ответ: Решение. Площадь треугольника ABC равна Высота SA равна Следовательно, объем пирамиды равен

• 
  Слайд 16

  Упражнение 14

  Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды. Ответ: 6. Решение. Треугольник SAD равносторонний со стороной AB = GH = Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно, объем пирамиды равен 6.

• 
  Слайд 17

  Упражнение 15

  В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 30о. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60о. Найдите объем пирамиды. Ответ: Решение. Площадь треугольника ABC равна Основанием высоты SH служит середина AC. Треугольник SAC равносторонний со стороной, равной Его высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен

• 
  Слайд 18

  Упражнение 16

  Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 30о. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды. Ответ: см3. Решение. Площадь основания пирамиды равна 120 см2. Сторона основания равна 13 см. Высота ромба равна см. Высота пирамиды равна см. Следовательно, объем пирамиды равен см3.

• 
  Слайд 19

  Упражнение 17

  Пирамида, объем которой равен 1, а в основании лежит прямоугольник, пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Определите объем оставшейся части пирамиды. Ответ:

• 
  Слайд 20

  Упражнение 18

  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 1, а угол между боковой гранью и основанием 45о. Найдите объем пирамиды. Ответ:

• 
  Слайд 21

  Упражнение 19

  В куб с ребром, равным 1, вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Определите объем тетраэдра. Ответ:

• 
  Слайд 22

  Упражнение 20

  Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат со стороной 1. Найдите объем этой пирамиды. Ответ: Решение. Основанием пирамиды будет прямоугольный треугольник ABC с катетами, равными 0,5. Высота пирамиды будет равна стороне квадрата. Следовательно, объем пирамиды равен

• 
  Слайд 23

  Упражнение 21

  Плоскость пересекает ребра SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC в точках A’, B’, C’ соответственно. Найдите объем пирамиды SA’B’C’, если объем исходной пирамиды равен 1и SA’ : SA = 1 : 2, SB’ : SB = 2 : 3, SC’ : SC = 3 : 4. Ответ: 1/4. Решение. Площадь треугольника SA’B’ составляет 1/3 площади треугольника SAB. Высота, опущенная из точки C’ составляет 3/4 высоты, опущенной из вершины С. Следовательно, объем пирамиды SA’B’C’ равен 1/4.

• 
  Слайд 24

  Упражнение 22

  Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и равны 3. Расстояние между ними равно 2. Найдите объем тетраэдра. Ответ: 3. Решение. Пусть AB перпендикулярно CD. Проведем сечение ADE перпендикулярное BC. Площадь треугольника ADE равна 3. Объем пирамиды равен 3.

• 
  Слайд 25

  Упражнение 23

  Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол 60о и равны 2. Расстояние между ними равно 3. Найдите объем тетраэдра. Ответ: Решение. Пусть угол между ADи BC равен 60о. Проведем общий перпендикуляр EG. Площадь треугольника ADE равна 3. Угол между прямой BC и плоскостью ADE равен 60о. Объем пирамиды равен

• 
  Слайд 26

  Упражнение 24

  Одно ребро тетраэдра равно 6. Все остальные ребра равны 4. Найдите объем тетраэдра. Ответ: Решение. Пусть BC = 6. Обозначим E середину BC. AE = DE = Высота EG треугольника ADE равна Его площадьравна Объем пирамиды равен

• 
  Слайд 27

  Упражнение 25

  Найдите объем общей части двух призм ADA1BCB1 и ABA1DCD1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ:Общей частью двух призм ADA1BCB1 и ABA1DCD1 является четырехугольная пирамида A1ABCD, объем которой равен 1/3.

• 
  Слайд 28

  Упражнение 26

  Найдите объем общей части двух призм ABB1DCC1 и ADA1BCB1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ:Общей частью двух призм ABB1DCC1 и ADA1BCB1 является четырехугольная пирамида B1ABCD, объем которой равен 1/3.

• 
  Слайд 29

  Упражнение 27

  Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и ABB1DCC1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ:Общей частью двух призм ADD1BCC1 и ABB1DCC1 является четырехугольная пирамида C1ABCD, объем которой равен 1/3.

• 
  Слайд 30

  Упражнение 28

  Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и ABA1DCD1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ:Общей частью двух призм ADD1BCC1 и ABA1DCD1 является четырехугольная пирамида D1ABCD, объем которой равен 1/3.

• 
  Слайд 31

  Упражнение 29

  Найдите объем общей части двух призм ADA1BCB1 и BA1B1CD1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух призм ADA1BCB1 и BA1B1CD1C1 является треугольная пирамида BCB1A1, объем которой равен 1/6.

• 
  Слайд 32

  Упражнение 30

  Найдите объем общей части двух призм ABA1DCD1 и AA1D1BB1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух призм ABA1DCD1 и AA1D1BB1C1 является треугольная пирамида ABD1A1, объем которой равен 1/6.

• 
  Слайд 33

  Упражнение 31

  Найдите объем общей части двух призм ABA1DCD1 и DA1D1CB1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух призм ABA1DCD1 и DA1D1CB1C1 является треугольная пирамида CDB1C1, объем которой равен 1/6.

• 
  Слайд 34

  Упражнение 33

  Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и AA1B1DD1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух призм ADD1BCC1 и AA1B1DD1C1 является треугольная пирамида ADC1D1, объем которой равен 1/6.

• 
  Слайд 35
  

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и C1ABCD, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABCD и C1ABCD является четырехугольная пирамида OABCD, объем которой равен 1/6.

• 
  Слайд 36

  Упражнение 34

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и DBCC1B1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABCD и DBCC1B1 является треугольная пирамида OBCD, объем которой равен 1/12.

• 
  Слайд 37

  Упражнение 35

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и ABCC1B1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABCD и ABCC1B1 является четырехугольная пирамида ABCOP, объем которой равен 1/8.

• 
  Слайд 38

  Упражнение 36

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и BCDD1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABCD и BCDD1C1 является треугольная пирамида OBCD, объем которой равен 1/12.

• 
  Слайд 39

  Упражнение 37

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и CADD1A1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABCD и CADD1A1 является треугольная пирамида A1ACD, объем которой равен 1/6.

• 
  Слайд 40

  Упражнение 38

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и B1ADD1A1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABCD и B1ADD1A1 является четырехугольная пирамида A1ADOP, объем которой равен 1/8.

• 
  Слайд 41

  Упражнение 39

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABD и B1ABC, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABD и B1ABC является треугольная пирамида PAOB, объем которой равен 1/24.

• 
  Слайд 42

  Упражнение 40

  Найдите объем общей части двух пирамид C1BCD и B1ABC, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид C1BCD и B1ABC является треугольная пирамида POBC, объем которой равен 1/24.

• 
  Слайд 43

  Упражнение 41

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABC и D1ABD, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABC и D1ABD является треугольная пирамида POAB, объем которой равен 1/24.

• 
  Слайд 44

  Упражнение 42

  Найдите объем общей части двух пирамид A1ABC и AA1B1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Ответ: Общей частью двух пирамид A1ABC и AA1B1C1 является треугольная пирамида POAA1, объем которой равен 1/24.

• 
  Слайд 45

  Упражнение 43

  Найдите объем октаэдра с ребром, равным 1. Ответ: Решение.Октаэдр состоит из двух правильных четырехугольных пирамид со стороной основания 1 и высотой Следовательно, объем октаэдра равен

• 
  Слайд 46

  Упражнение 44

  Центры граней куба, ребро которого равно 1, служат вершинами октаэдра. Определите его объем. Ответ:

• 
  Слайд 47

  Упражнение 45

  Два куба с ребром a имеют общую диагональ, но один повернут вокруг этой диагонали на угол 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части. Ответ:Общая часть является правильной 6-й бипирамидой со стороной основания и Высотой Объем этой бипирамиды равен

• 
  Слайд 48

  Упражнение 46

  Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Один из них повернут на 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части. Ответ:

• 
  Слайд 49

  Упражнение 47

  Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Стороны оснований тетраэдров попарно параллельны. Найдите объем общей части этих тетраэдров. Ответ:

• 
  Слайд 50

  Упражнение 48

  Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Основание одного из тетраэдров повернуто на 60° по отношению к основанию другого. Найдите объем общей части этих тетраэдров. Ответ: Решение: Общей частью является параллелепипед, все грани которого – ромбы с острым углом 60о. Ребра параллелепипеда равны . Его объем равен

• 
  Слайд 51

  Упражнение 49

  Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общий отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер. Один тетраэдр повернут на 90° по отношению к другому. Найдите объем их общей части. Ответ: Общей частью является октаэдр (правильная 4-я бипирамида) с ребром Его объем равен

• 
  Слайд 52

  Упражнение50

  Октаэдр с ребром 1 повернут вокруг прямой, соединяющей противоположные вершины, на угол 45о. Найдите объем общей части исходного октаэдра и повернутого? Ответ:Общей частью является правильная 8-я бипирамида с площадью основания и высотой Ее объем равен