Содержание
-
Движения.
Движением в геометрии называют отображение, сохраняющее расстояния. pptcloud.ru
-
Отображения.
Отображением множества Mв множество Nназывается соответствие каждому элементу из Mединственного элемента из N. Слово «отображение» означает соответствие точкам точек. Пусть заданы два отображения:отображение f множества M в множество N и отображение g множества Nв множество P. Если при отображении fточка X€Mперешла в точкуX,=f (X)€N, а затем X,при отображении gперешла в точку X,,€P, то тем самым в результате X перешла в X,,(рис. 1). Это записывается так:X,,=g*f (X). В результате получается некоторое отображение hмножества Mв множество P. Поскольку при отображении hобразом каждой точки Xявляется точка X,,=g*f (X), то пишут, чтоh=g*f. Отображение hназывается композицией отображения fс последующим отображениемg.Композицией называется и операция последовательного отображения и результирующее отображение.
-
рисунок 1
-
Определение движения.
Замечание:Когда с реальным телом совершают сначала одно, а затем другое движение, то понимают так, что второе движение происходит с тем же телом. В геометрии же это не так! Определение:Движением фигурыназывается такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A,, иB, ,что |A,B,|=|AB|.(рис. 2) Фигура F, называется равной фигуреF, если она может быть получена из F движением. Это и выражено в словах:«фигураF, получается из Fдвижением». Из определений соответствующих понятий непосредственно вытекает: движение взаимно однозначны; движение обратимо и отображение, обратное для движения, является движением; композиция движений движение.
-
рисунок 2
-
Общие свойства движений.
С в о й с т в о 1:(сохранение прямолинейности).При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек. Д о к а з а т е л ь с т в о:Из планиметрии известно, что три точки A, B, Cлежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими – точками Aи C,т. е. когда выполняется равенство |AB|+|BC|=|AC|.(1) При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A ,, B,, C,: |A,B,|+|B,C,|=|A,C,|.(2) Таким образом, точкиA’, B’, C’ лежат на одной прямой и именно точкаB’ лежит между A’ и C’./ч.т.д.
-
С в о й с т в о 2:Образом отрезка при движении является отрезок. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть при движенииотрезкаAB его концы отобразились – A на A’и B на B’.Любая точка X отрезка AB отобразилась в какую-то точку X’отрезка A’B’(по свойству 1).При этом образом отрезка AB будет именно весь отрезок A’B’, а не какая-то его часть. В самом деле, любая точка Y’отрезка A’B’является образом некоторой точки Y отрезка AB, именно той его точки Y, которая удалена от точки A на расстоянии |A’Y’|./ч.т.д. С в о й с т в о3:Образом прямой при движении является прямой, а образом луча – луч. Д о к а з а т е л ь с т в о:Прямая может быть представлена как объединение неограниченно расширяющихся в обе стороны отрезков.A1B1 c A2B2c A3B3 c ...(рис. 3). Поэтому из свойства 2 следует, что при движении прямая отображается на прямую. Аналогично доказательство верно и для луча (рис. 4)
-
рисунок 4
рисунок 3
-
С в о й с т в о 4:При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости – плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости – полуплоскость.
Д о к а з а т е л ь с т в о:Треугольник ABCпредставляет собой объединение отрезков AX с концамиX на отрезкеBC. При движении отрезки, и поэтому треугольник отображается на треугольник. Длины сторон сохраняются по определению движения, а углы (точнее, величины углов) сохраняются, так как они выражаются через длины сторон (по теореме косинусов). Плоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников (рис. 5). Поэтому при движении плоскость отображается на плоскость (а не на какую-либо ее часть). Полуплоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников, у которых одна сторона лежит на прямой (рис. 6). Поэтому полуплоскость отобразится на полуплоскость. Поскольку движение сохраняет расстояния, то расстояние между фигурами при движениях не изменяются. Отсюда следует, в частности, что при движении параллельные плоскости переходят в параллельные./ч.т.д.
-
рисунок 5
рисунок 6
-
С в о й с т в о 5: При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства – все пространство,образом полупространства – полупространство.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Тетраэдр PABCD представляет собой объединение отрезков PX с концами X в треугольнике ABC. При движении отрезки отображаются на отрезки, и поэтому тетраэдр отображается на тетраэдр. Пространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров, поэтому при движении пространство отображается на пространство. Полупространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров, у которых основания лежат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при движении образом полупространства будет полупространство./ч.т.д.
-
С в о й с т в о 6: При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.
Д о к а з а т е л ь с т в о: При движении полуплоскость отображается на полуплоскость отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пересечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол и двугранный угол есть объединение полуплоскостей, то при движении выпуклый угол переходит в выпуклый угол, а невыпуклый угол и двугранный угол соответственно в невыпуклый и двугранный угол. Пусть лучи a иb, исходящие из точки O, отобразились на лучи a’иb‘, исходящие из точки O’. Возьмем треугольник AOBс вершинами A € aи B € b(рис. 7).Он отобразится на равный треугольник O’A’ B’с вершинами A’ € a’, B’ € b’, и, значит, углы между лучами равны. Поэтому при движении величины углов сохраняются. Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых и, значит, перпендикулярность прямой и плоскости. Поэтому, вспоминая определения величины двугранного угла и угла между прямой и плоскостью, получим, что величины этих углов сохраняются./ч.т.д.
-
рисунок 7
-
Параллельный перенос.
О п р е д е л е н и е:Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния (рис. 8), т.е. при переносе каждым двум точкам Xи Yфигурысопоставляются такие точки X ’и Y ’, что XX ’=YY ’ (3) рисунок 8
-
Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления,т.е. любым двум точкамXи Yсоответствуют такие точкиX’и Y ’, чтоX ’Y ’=XY (4)
1.Параллельныйперенос есть движение, сохраняющее направления.2.Движение сохраняющее направления, есть параллельный перенос.Из этих двухвзаимнообратных утверждении непосредственно вытекает,что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос. Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек:если указано, в какую точку переходит данная точка A, то известно, куда переходит любая точкаX фигуры; она переходит в такую точкуX’, что XX’=AA’(5) Можно сказать: перенос задается вектором AA’ , и векторное равенство (5) означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор. Следовательно, всякий перенос задается некоторым векторомa, т.е. XX ’=a для всех точек X. Параллельный перенос любой фигуры можно распространить на все пространство, стоит лишь сместить все его точки на тот же вектор, на который смещаются точки фигуры.
-
Центральная симметрия.
О п р е д е л е н и е:Точки A иA’ называются симметричными относительно точки O, если она делит отрезокAA’ пополам (рис. 9). ТочкаO считается симметричной сама себе ( относительноO). рисунок 9
-
Две фигуры называются симметричными относительно точкиo, если они состоят из попарно симметричных точек, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки точка в другой фигуре и обратно (рис. 10).
В частности, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоторой точкиO. Тогда для каждой ее точки в ней есть точка, симметрична относительноO. Эта точкаO называется центром симметрии фигуры, а фигура – центрально-симметричной (рис. 11). рисунок 10 рисунок 11
-
О п р е д е л е н и е: центральной симметрией фигуры с центром O называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметрично относительноO.
Отношение между симметричными точками взаимное: если A’симметричнаA, то AсимметричнаA’ относительно того же центра. Поэтому отображение, обратное центральной симметрии всего пространства, есть она же сама. Из определения симметричных друг другу фигур следует, что центральная симметрия с центром в точкеO отображает фигуру на симметричную ей относительно точкеO. В частности, то, что фигура имеет центр симметрииO, означает, что центральная симметрия с центромOотображает ее на себя.
-
Основное свойство центральной симметрии содержится в следующей теореме:
Т е о р е м а: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направления изменяет на противоположные. Иначе говоря, любым двум точкам Xи Yфигуры Fсоответствуют такие точки X ’иY ’, что X ’ Y ’= -XY (6). Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть при центральной симметрии с центром в точке точки и отобразились на и . Тогда, как ясно из определения центральной симметрии(рис. 12), OX ’= -OX, OY ’= -OY (7). Вместе с тем XY=OY – OX, X ’Y ’=OY ’- OX’. Поэтому из (7) имеем: X ’Y ’= -OY+OX= -XY. /ч.т.д.
-
рисунок 12
-
Теорема: Движение, изменяющее направления на противоположные, есть центральная симметрия.
Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек: если точка Aотображается на A’, то центр симметрии – это середина отрезка AA’. Центральная симметрия любой фигуры естественно распространяется на все пространство: каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно того же центра.
-
Зеркальная симметрия.
О п р е д е л е н и е:Точки A иA’ называются симметричными относительно плоскостиa, если отрезокAA’ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости aсчитается симметричной самой себе относительно этой плоскости (рис. 13). Две фигурыF и F’называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре. Фигура симметрична относительно данной плоскости и что эта плоскость является ее плоскостью симметрии (рис. 14).
-
О п р е д е л е н и е: Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или симметрией относительно этой плоскости)
ЕслиA’симметричнаAотносительно плоскостиa, то A симметричнаA’ относительно той же плоскости a. Поэтому отображение, обратное отображению в плоскости всего пространства, есть оно само. Ясно, что при отображении фигура отображается на симметричную ей фигуру относительно этой плоскости. Теорема: Отображение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением. При отражении в плоскости все точки ее неподвижны, т.е. отображаются сами на себя. Теорема: Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отображением в этой плоскости или тождественным отображением. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть при движении все точки плоскости a, неподвижны. Тогда из сохранения углов и расстояний следует, что , прямые, перпендикулярные a, отображаются на себя. При этом либо точки отображаются в a, либо все точки неподвижны. / ч.т.д. Отражение в плоскости задается указанием одной пары соответствующих точек, на лежащих в плоскости симметрии.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.