Презентация на тему "Площадь многоугольника. Формула Пика. Рефератно - исследовательская работа" 8 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Площадь многоугольника. Формула Пика. Рефератно- исследовательская работа

• 
  Слайд 2

  Актуальность работы

  Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования На данном этапе, школьное образование рассчитана на одиннадцатилетнее обучение. Все обучающиеся в конце одиннадцатого класса сдают ЕГЭ. Этот экзамен покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда представляет рациональные способы решения каких- либо задач. Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой- то задачей. В сборниках по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ мне встретились задания на нахождение площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Меня это очень заинтересовало. Решение этой задачи потребовалось немало времени, дополнительных построений и знаний формул площадей прямоугольников и прямоугольных треугольников. Так возник вопрос, а можно ли находить площади таких многоугольников другими способами? Так появилась моя исследовательская работа» Площадь многоугольников». Задачи связанные с бумагой в клеточку разнообразны. Такие задачи считаются занимательными( в курсе геометрии не изучаются) и немногие авторы посвятили этой теме свои работы.

• 
  Слайд 3

  Цели и задачи

  Цель: Исследование методов нахождения площади многоугольников. Задачи: Изучить литературу по данной теме, определить наиболее интересные методы нахождения площадей многоугольника. Проанализировать полученные результаты. Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами.

• 
  Слайд 4

  Предмет исследования.Гипотеза. Метод исследования

  Гипотеза. Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, построенных на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Предмет исследования: Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами. Метод исследования: изучение литературы по выбранной теме, графическое моделирование, анализ и классификация полученных результатов.

• 
  Слайд 5

  Практическая значимость. Практическое применение результатов

  Практическая значимость. Задачи на клетчатой бумаге помогают, как можно раньше формировать геометрические представления в разнообразном материале. Метод разбиения сложной фигуры на простые, применение формул нахождения площадей некоторых фигур и формула Пика позволяют в каждом конкретном случае решать задачу рационально, а также проверить полученный результат. Практическое применение результатов. В качестве практического исследования мы решили одну и туже геометрическую задачу всеми четырьмя методами. Это задача на вычисление площади параллелограмма.

• 
  Слайд 6

  Метод непосредственного применения формул.

  В школьном курсе геометрии изучаются формулы нахождения площади многоугольников: квадрата, прямоугольника, произвольного треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба. Если заданный многоугольник является одним из данных многоугольников, то нахождение площади сводится к вычислению длин нужных элементов фигуры по клеткам ( высоты, основание, диагоналей и т.д.) и выполнение расчетов по готовым формулам.

• 
  Слайд 7

  Вычисление площади параллелограмма по формуле

                                                                                                                                                                                                                          14                                                                                                                                               h                                         8                                                                                                                                                             а                                                               = а * h = 1 4 * 8 = 1 1 2        

• 
  Слайд 8

  Метод сложения площадей

  Данный многоугольник разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы вся фигура была разбита на прямоугольники и прямоугольные треугольники. Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

• 
  Слайд 9

  Вычисление площади параллелограмма методом сложения площадей

• 
  Слайд 10

  Метод вычитание площадей

  Вокруг данного многоугольника строится четырёхугольник так, чтобы его стороны содержали максимальное количество вершин многоугольника и были либо горизонтальны, либо вертикальны. В этом случае площадь описанного прямоугольника и площади фигур. являющимися дополнениями данной фигуры до прямоугольника. Как правило эти фигуры будут прямоугольником и прямоугольными треугольниками. Далее из площади построенного прямоугольника вычитаются сумма площадей всех дополнительно построенных фигур и получается площадь первоначальной фигуры.

• 
  Слайд 11

  Вычисление площади параллелограмма методом вычитания площадей

• 
  Слайд 12

  Формула Пика

  Площадь многоугольника , вершины которого расположены в узлах клеток, можно вычислить более простым способом. Есть формула, связывающая его площадь с количеством узлов лежащих внутри и на границе многоугольника. Это формула Пика. S= A+В/2 -1 ,где А- число узлов внутри многоугольника, В- число узлов на границе. Чтобы вычислить площадь многоугольника по формуле Пика, чертёж должен быть чётким и очень внимательно его рассматривать, чтобы определить лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу.

• 
  Слайд 13

  Исторические сведения о формуле Пика.

  Автор формулы – Георг Алесандр Пик ( годы жизни 10 августа 1859- 13 июля 1942), австрийский математик. Георг был одаренным ребенком. Его обучал отец, который возглавлял частный институт. В 16 лет закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 защитил докторскую диссертацию « О классе абелевых интегралов» под руководством Лео Кёнигсбергера. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика-Неванлинны, лемма Шварца-Пика. Но больше всего он известен своей теоремой, которая появилась в 1899 году.

• 
  Слайд 14

  Вычисление площади параллелограмма по формуле Пика

• 
  Слайд 15

  Заключение.Выводы.

  Заключение. В своей исследовательской работе я хотел доказать, что нахождение площади многоугольника может стать интересным и познавательным занятием. Выводы. - Существуют различные методы нахождения площади многоугольника. - Клетчатая бумага может выполнять функцию инструмента , который служит для вычисления площади многоугольника. - С помощью формулы Пика можно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. - Полученные результаты можно использовать для подготовки выпускников к сдаче ЕГЭ и ОГЭ и олимпиадных заданий.

• 
  Слайд 16

  Список литературы

  В.Н.Ганьшин Простейшие измерения на местности, 3-е издание, переработанное и дополненное; М.Недра.1983. В.А. Смирнов, И.М. Смирнов Геометрия на клетчатой бумаге. М. МЦМО .2009. В.В.Вавилов, А.В.Устинов Задачи на клетчатой бумаге. М. Школа им. А.Н. Колмогорова. 2006 А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий, И.В. Ященко Сборник заданий по ЕГЭ и ОГЭ.М. « Интеллект - центр» 2015-2016 М.Гарднер Математические чудеса и тайны .М. Наука. Список интернет- ресурсов: 1.http:// hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/ сайт « Математика, которая мне нравится». 2. http:// kwant.ras.ru/1970/12/vokrugformuly- pika/htm журнал “ Квант» статья Н.Б.Васильева « Вокруг формулы Пика»

• 
  Слайд 17

  Приложение

  Площадь треугольника Треугольник – это многоугольник, имеющий три вершины и три стороны, которые последовательно эти вершины соединяют.   a – сторона треугольника h – высота треугольника A, B, C – вершины треугольника S=1/2 ah

• 
  Слайд 18
  

  Площадь четырехугольника Четырехугольник – это многоугольник, имеющий четыре вершины и четыре стороны, которые последовательно эти вершины соединяют. d1, d2 – диагонали четырехугольника α – угол между диагоналями четырехугольника A, B, C, D – вершины четырехугольника   Площадь четырехугольника (S) равна половине произведения его диагоналей (d1,d2) на синус угла (α) между ними:  S=1/2d1d2sinα

• 
  Слайд 19
  

   Площадь параллелограмма Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. a – сторона параллелограмма h – высота, проведенная к стороне а A, B, C, D – вершины параллелограмма     Площадь параллелограмма (S) равна произведению его стороны (a) на высоту, проведенную к этой стороне (h):   S= ah

• 
  Слайд 20

  Приложение .Площадь парпллелограмма

• 
  Слайд 21

  Приложение

  Площадь ромба Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.                             d1, d2 – диагонали ромба                             A, B, C, D – вершины ромба           Площадь ромба (S) равна половине произведения его диагоналей (d1, d2): S=1/2 d1d2  

• 
  Слайд 22

  Приложение . Площадь ромба.

• 
  Слайд 23

  Приложение. Площадь прямоугольника.

  Площадь прямоугольника Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). a, b – стороны прямоугольника A, B, C, D – вершины прямоугольника       Площадь прямоугольника (S) равна произведению его сторон (a, b): S=ab

• 
  Слайд 24
  
• 
  Слайд 25

  Приложение. Площадь квадрата.

  Площадь квадрата Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы и все стороны равны.         а – сторона квадрата A, B, C, D – вершины квадрата Площадь квадрата (S) равна квадрату его стороны (а)

• 
  Слайд 26

  Приложение. Площадь квадрата

• 
  Слайд 27

  Приложение. Площадь многоугольника.

  Площадь многоугольника Многоугольник – это геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой ломаной линией. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.  S=а*а n/4tq360/2n   a – сторона правильного многоугольника A, B, C, D, E, F – вершины многоугольника

• 
  Слайд 28

  Приложение. Площадь трапеции

  Площадь трапеции Трапеция – это четырехугольник, у которого параллельна только одна пара противоположных сторон. a, b – основания трапеции h – высота трапеции A, B, C, D – вершины трапеции     Площадь трапеции (S) равна половине произведения суммы его оснований (a, b) на высоту трапеции (h): S=(a+b)/2*h

• 
  Слайд 29

  Приложение . Площадь трапеции.

• 
  Слайд 30

  Вычисление площади многоугольника методом сложения.

• 
  Слайд 31

  Вычисление площади многоугольника по формуле Пика.