Презентация на тему "Последовательности." 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Последовательности.

  1.Арифметическая прогрессия. 2.Геометрическая прогрессия. Составила преподаватель Мещенко Н.В., 2007-2008уч. год

• 
  Слайд 2
  

  Определение: Числа, выписанные в определенном порядке, называются последовательностью чисел. Обозначим её : x1; x2; x3 ;…, xn где х1; х2; х3 - члены последовательности .

• 
  Слайд 3
  

  2) Рассмотрим последовательность двузначных чисел (аn): 10; 11; 12; …; 98; 99 - является конечной, а17= 26, а25= 34. Например: 1) Выпишем в порядке возрастания положительные четные числа. Это последовательность: 2;4;6;8; … . Очевидно, что на пятом месте будет число 10, т.е х5 = 10; а на десятом – число 20, т.е. х10 = 20. В последовательности будет содержаться бесконечное число членов. Чтобы задать последовательность, нужно указатьспособ,позволяющий найти член последовательности с любым номером.

• 
  Слайд 4

  Способы задания числовых последовательностей

  рекуррентная формула формула n-го члена последовательности описанием ее членов

• 
  Слайд 5
  

  I. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. Пусть первый член последовательности (аn) равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего т.е. а1=3, аn+1=аn2. Имеем, а2=9, а3=81, а4=6561, … . Например: Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие называют рекуррентной

• 
  Слайд 6
  

  II. Последовательность может быть задана при помощи формулы n-го члена последовательности.

  Например,

• 
  Слайд 7

  III. Иногда последовательность задается описанием ее членов,

  Например, последовательность, у которой xn равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 5, x5 = 9, x6 = 2, x7 = 6, x8 = 5, x9 = 3, x10 = 5 и т. д.

• 
  Слайд 8

  Виды последовательностей.

  Последовательность (xn) называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство . Конечная Бесконечная Возрастающей Убывающей Последовательность (xn)называется убывающей, если для любого выполняется неравенство . Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающейи невозрастающей. Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.

• 
  Слайд 9
  
• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  
• 
  Слайд 12

  Арифметическая прогрессия.

  Определение: Числовую последовательность (an), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называютарифметической прогрессией. an + 1 = an + d ( рекуррентная формула арифметической прогрессии ). Число d называется разностью арифметической прогрессии:

• 
  Слайд 13

  Арифметическая прогрессия

  Верно и обратное. Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется рекуррентное соотношение Так какan – 1 = an – dиan + 1 = an + d, тоan + 1 + an – 1 = 2an ( характеристическое свойство арифметической прогрессии). Формула n-го члена арифметической прогрессии (an) такова:

• 
  Слайд 14
  

  Пример 1. Дано: (сn)-арифметическая прогрессия, с1=0,62, d =0,24. Найти: с50 Решение: Так как, то Ответ: с50=12,38. Пример 2. Дано: (сn)-арифметическая прогрессия, с1=10, с5 =22. Найти: d, составить формулу n-го члена. Решение: Так как , то с5 =10+ d(5-1), имеем 22=10+ 4d,то . Имеем Ответ: ,

• 
  Слайд 15
  

  Пример 3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (сn), если с16 = -7,с26 = 55. Решение: Так как , то с16 = с1+ d(16-1), т.е. -7= с1+ 15d. с26= с1+ d(26-1), т.е.55= с1+ 25d Составим и решим систему уравнений Арифметическая прогрессия

• 
  Слайд 16
  

  Дано: (аn) - арифметическая прогрессия:23; 17,2; 11,4; 5,6; … Определить, принадлежит личисло -122 этойпоследовательности? Решение: Так как а1 = 23, а2 = 17,2 и тоd = а2 - а1 =17,2 - 23= -5,8 , то Пример 4. Число -122 будет являться членом этой прогрессии, если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения равно -122. Значит, число -122 является 26 –м членом данной прогрессии. Решим уравнение Ответ:а26= -122. Арифметическая прогрессия

• 
  Слайд 17
  

  Дано: (аn) - арифметическая прогрессия: 5; а2; а3; а4 ; а5; а6; а7 ; а8;1. Решение: Заметим, чтоа1=5, а 9=1,то Арифметическая прогрессия Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел,чтобы они вместе с данными числами образовалиарифметическуюпрогрессию. По определению арифметической прогрессии an + 1 = an + d, а2 = 4,5 ;а3 = 4,0;а4  = 3,5 ;а5 = 3,0 ;а6 = 2,5 ; а7 = 2,0 ; а8 = 1,5. Ответ: 4,5 ;4 ; 3,5 ;3 ;2,5 ; 2 ;1,5. Пример 5. а9 =5+8d, т.е. 1=5+8d, то d = - 0,5.

• 
  Слайд 18
  

  Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия (an)задана формулой аn= 3n+2. Найдите сумму двадцати первых её членов. Решение: Так как аn= 3n+2, то а1 =5, а2 = 8, то d = 3, Пример 6. Ответ: 670.

• 
  Слайд 19
  

  Найдите сумму натуральных чисел от 20 до 120 включительно. Решение:1 способ:(bn ):1, 2, …,19, 20, …, 119, 120. b1= 1,b2= 2, b120= 120, d= 1, Пример 7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Ответ: 7070

• 
  Слайд 20
  

  2способ: ( bn): 20; 21;…;120, т.е.b1= 20,b2= 21, b101= 120, то d = 1, Ответ: 7070. Пример 8. Найдите сумму натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. Решение: Числа, кратные 7, задаются формулой bn= 7n, b1=7, b2=14, d = 7,так какbn ≤ 130 и так как ,то n=18. Тогда Ответ: 1197. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

• 
  Слайд 21

  Геометрическая прогрессия.

  Определение: Числовую последовательность (bn), первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией. Число q, которое называется знаменателем прогрессии, отлично от нуля и . ( рекуррентная формулагеометрической прогрессии ).

• 
  Слайд 22
  

  Так как  характеристическое свойство геометрической прогрессии Верна и обратная теорема Последовательность (bn) является геометрической тогда итолько тогда, когда для любого n > 1, где при всех n выполняется соотношение Тем не менее, важно понимать, что формула справедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии. Каждый член геометрической прогрессии (bn)определяется формулой n-го члена последовательности

• 
  Слайд 23
  

  Сумма n первых членов геометрической прогрессии (bn) равна при q ≠ 1 Геометрическая прогрессия. и при q = 1 равна Sn = n · b1. При |q| 

• 
  Слайд 24
  

  Дано: (сn)- геометрическая прогрессия, с1=16, q =0,5. Найти: с7. Решение: Так как Пример 1. Геометрическая прогрессия. , то Ответ:с7=0,25. Дано: (сn)- геометрическая прогрессия, с5= - 6, с7= - 54 . Найти: q. Пример 2. Решение: Так как ,то

• 
  Слайд 25
  

  Составим и решим систему уравнений Геометрическая прогрессия. Существуют две геометрические прогрессии, у которой с5= - 6, с7= - 54 . Это геометрические прогрессии ,у которых или q=3 или q=-3. Ответ: -3; 3 .

• 
  Слайд 26
  

  Пример 3. Найдите сумму геометрической прогрессии: Решение: Так как дана бесконечная геометрическая прогрессия, то Тогда по формуле получим: Ответ: 9.

• 
  Слайд 27
  

  Пример 4. Представьте в виде обыкновенной дроби число: а) 0,(6); б) 0,(36); в) 1,(81); г) 0,2(3). Решение: I способ а) 0,(6) =0,6666… =0,6+0,06+ 0,006+0,0006 + … . Рассмотрим последовательность: 0,6; 0,06; 0,006; 0,0006; … . Так как то эта последовательность являетсябесконечной геометрической прогрессией, то

• 
  Слайд 28
  

  Пусть x = 0, 6666…. Период состоит из одной цифры Умножим обе части равенства на 10. Получим 10х = 6,666… . Вычтем из 10х = 6,666… х = 0,666…, получим 9х = 6,000…, II способ

• 
  Слайд 29
  

  б) Пусть x = 0,363636…. Период состоит из двух цифр Умножим обе части равенства на 100. Получим 100х =36,363636… . Вычтем из 100х = 36,363636… х = 0,363636…, получим 99х =36,00000…, в) Пусть x = 1,818181…. Период состоит из двух цифр Умножим обе части равенства на 100. Получим 100х =181,8181 … . Вычтем из 100х = 181,8181… х = 1,8181…, получим 99х =180,00000…,

• 
  Слайд 30
  

  г) 0,2(3). Пусть x = 0, 2333…. Период состоит из одной цифры Умножим обе части равенства на 10. Получим 10х = 2,333… . Вычтем из 10х = 2,3333… х = 0,2333…, получим 9х = 2,1000…,

• 
  Слайд 31

  Домашнее задание.

  ЦТ-2006,Б4 ЦТ-2007,Б6 Никольский10,стр.307 №60(а, в, г), №106 Повторить формулы нахождения производных