Презентация на тему "Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли»

  Проект Гузь Ольги

• 
  Слайд 2

  Содержание.

  1.Определение функции заданной неявно. 2.Определение лемнискаты. 3.Вывод уравнения лемнискаты. 4.Преобразование уравнения лемнискаты. 5.Уравнение лемнискаты в полярной системе координат. 6.Исследование уравнения лемнискаты. 7.Построение лемнискаты. 8. Применение лемнискаты. 9.Краткая историческая справка.

• 
  Слайд 3

  Определение неявно заданной функции

  Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0. В зависимости от того, какой является функция F(x ,y)-алгебраической или трансцендентной,- кривые также делятся на алгебраические и трансцендентные. Примеры, лемниската Бернулли.

• 
  Слайд 4
  

  Лемниската – это кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек- фокусов -постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Определение лемнискаты

• 
  Слайд 5
  

  Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0);М(х, у) - произвольная точка геометрического места, то по условию Подставляя в это равенство выражения получим искомое уравнение данного геометрического места Вывод уравнения лемнискаты

• 
  Слайд 6
  

  Преобразование уравнения лемнискаты Дальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом виде. Возводя в квадрат обе части уравнения и группируя члены, находим отсюда

• 
  Слайд 7
  

  Преобразование уравнения лемнискаты Преобразуя последнее уравнение, имеем: или в окончательном виде Мы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

• 
  Слайд 8
  

  Построение графика лемнискаты Т.к х и у входят в это уравнение только в чётных степенях, то лемниската симметрична относительно координатных осей. Построить график данной функции затруднительно. Запишем это же уравнение в полярной системе координат.

• 
  Слайд 9
  

  Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку х =ρ cosφ, у = ρ sinφ, х2+у2= ρ2, то уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид ρ 4=2а2 ρ(cos2φ- sin2φ) или ρ 2=2а2 cos2φ.

• 
  Слайд 10
  

  ρ 2=2а2 cos2φ Из этого уравнения видно, что при φ=0. Если φ увеличивается в пределах от 0 до,то ρ уменьшается от до ρ=0. Если , то ρ принимает мнимые значения. Это означает, что на лемнискате нет точек, для которых φ меняется в указанных пределах. Исследование уравнения лемнискаты

• 
  Слайд 11
  

  Построение лемнискаты Построим график функции при разных значениях а: при а=1

• 
  Слайд 12
  

  Построение лемнискаты

• 
  Слайд 13
  

  Построение лемнискаты при а=-0,5

• 
  Слайд 14
  

  При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската Бернулли. 1. 2. 3. 4. Фигура выпуклая как эллипс. Появляется вогнутая перемычка с четырьмя точками перегиба. Перемычка смыкается, полученная фигура называется лемнискатой Бернулли. Фигура разваливается на два овала. Построение

• 
  Слайд 15
  

  В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях. Применение:

• 
  Слайд 16
  

  Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ - с помощью двух угольников и нарисованной на листе бумаги окружности (рис.2).Вершина острого угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности. Способы построения лемнискаты Рис.2

• 
  Слайд 17
  

  Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3). Способы построения лемнискаты Рис.3

• 
  Слайд 18
  

  Лемниската Бернулли. Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Историческая справка

• 
  Слайд 19
  

  БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал в Базельском университете. Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей и механике. В 1687 познакомился с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению и применил его идеи к изучению ряда кривых, встречающихся в математике, механике, и выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой. Ввел термин «интеграл». Краткая биография

• 
  Слайд 20
  

  ♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г; ♣ И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»; Москва, Издательство «Наука», 1980г; ♣ Маркушевич А.И. «Замечательные кривые»; Москва 1978 г. Список использованной литературы

• 
  Слайд 21
  

  Internet-ресурсы:WWW.Colledg.Ru; WWW.5ballov.Ru;WWW.bankreferatov.Ru;WWW.rubricon.com. Программное обеспечение: MS Word; MS Power Point;Windows Media; Nero Wave Editor; Сканер. Список использованной литературы