Содержание
-
Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики Математика Лекция 7. Дифференцирование и дифференциал. Производные высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя. Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г. Екатеринбург - 2012
-
Рекомендуемая литература
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с. Тер-КрикоровА.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с. Электронный ресурс: www.exponenta.ru
-
Содержание лекции
§1. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование §2. Производные высших порядков §3. Дифференциал функции §4. Основные теоремы дифференциального исчисления §5. Правила Лопиталя
-
§1. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование1.1. Неявно заданная функция
Df:Говорят, что функция задана в явном виде (явная функция), если она может быть выражена уравнением y = f(x), разрешенном относительно y. Df:Говорят, что функция задана в неявном виде (неявная функция), если она не может быть выражена уравнением y = f(x), разрешенном относительно y; в этом случае функция задается неявным уравнением F(x; y) = 0. Так, неявно заданными функциями будут функции y+ 2x + cosy = 1; ey – x + y = 0; 4x2 + 9y2 16 = 0, и др. Неявно заданные функции трудно или невозможно (однозначно) разрешить относительно y. Однако, для нахождения производной y yxнет необходимости в получении явного выражения y = y(x).
-
1.1. Неявно заданная функция (продолжение)
П р а в и л о дифференцирования функции, неявно заданной уравнением F(x; y) = 0. Для вычисления производной y yx неявно заданной функции, достаточно уравнение F(x; y) = 0продифференцировать по x, рассматривая при этом yкак функцию x, и полученное уравнение затем разрешить относительно производной y. При этом производная y =y(x; y) будет выражена через обе переменные xи y. П р и м е р 1. Найти производную y неявно заданной функции: F(x; y) = x3 + y3 – 3xy = 0. Решение: Fx= 3x2 + 3y2 y 3y 3x y = 0, откуда x2 y + (y2 x)y = 0и y = . Ответ: y = (y x2)/(y2 x).
-
1.2. Функция, заданная параметрически
Df:Говорят, что функция задана в параметрическом виде (параметрически), если она может быть выражена системой (парой) уравнений где t – вспомогательная независимая переменная (параметр). Параметрическое задание функции бывает удобным в тех случаях, когда явное выражение функции y = y(x) получить невозможно или затруднительно. Если под x(t) и y(t) понимать координаты точки при ее движении на плоскости, то параметр tможно интерпретировать как время. Так, движение тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью v0с высоты, равной h, есть
-
1.2. Функция, заданная параметрически (продолжение)
Вычислим производную yx, считая, что функции x = x(t), y = y(t) имеют производные (по параметру t), и, кроме того, функция x = x(t) имеет обратную t = (x). Производную yxнайдем как производную сложной функции: yx= = = / = . Полученная формула позволяет находить производную yx функции, заданной параметрически, не находя собственно зависимости yот x. П р и м е р 2. Найти производную yx функции, заданной параметрически: Решение:Согласно выведенной формуле, имеем: yt = 2t, xt = 3t2, так что yx=yt /xt = = = {t = } = . Ответ: yx= = {t = } = .
-
1.3.Логарифмическое дифференцирование
Иногда для нахождения производной функции y =f(x) эту функцию удобно сначала прологарифмировать, и лишь затем вычислять производную. Этот подход основан на соотношении (lny) = y = y(lny). Подход эффективен в тех случаях, когда логарифм функции представляет собой легко дифференцируемое выражение. Df:Производная функции y = f(x), вычисленная после предварительного логарифмирования функции, называется логарифмической производной, а процесс ее вычисления – логарифмическим дифференцированием. Df:Есть функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится степенно-показательная функцияy(x) = u(x)v(x) (u(x) > 0).
-
1.3. Логарифмическое дифференцирование (продолжение)
Вычислим производную степенно – показательной функцииy= uv, где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции от x(u(x) > 0). y= (uv) = y(lny) = uv(vlnu) = uv(vlnu + v). З а м е ч а н и е: Вместо запоминания полученной формулы проще запомнить сам принцип логарифмического дифференцирования. П р и м е р 3. Вычислить производную функции y = xx (x> 0). Решение: Вычислим производную данной функции с помощью логарифмического дифференцирования: y = y(lny) = xx (xlnx)= xx (lnx+ 1). Ответ: (xx) = xx (lnx+ 1).
-
§2. Производные высших порядков2.1. Явно заданные функции
Df:Производная функции y = f(x) сама в общем случае является функцией от x: y = f(x)и называется производной первого порядкафункции y = f(x). Df:Если функция f(x) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка функции y = f(x). В этом случае говорят, что функция y = f(x)дважды дифференцируема. Производная второго порядка обозначается как y (или f(x), , ).Итак, y = (y). Df:Если функция f(x) дифференцируема, то ее производная называется производной третьего порядка функции y = f(x). В этом случае говорят, что функция y = f(x)трижды дифференцируема. Производная 3-гопорядка обозначается: y (или f(x), , ).Итак, y = (y).
-
2.1. Явно заданные функции (продолжение)
Df:Производной y(n)n-го порядка (или n-ой производной)функции y = f(x) называется производная от производной (n1)-го порядка: y(n) = (y(n1)). Производные порядков выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производных четвертого порядка, порядок производных обозначают римскими цифрами или числом в скобках; так, yIV или y(4) – производная 4-го порядка. П р и м е р 4. Найти 13-ю производную функции y = sinx. Решение: Для выявления закономерности вычислим несколько первых производных данной функции: y = (sinx) = cosx; y = (cosx) = sinx; y = (sinx) = cosx; yIV= (cosx) = sinx. Т.о., четвертая производная дает исходную функцию y = sinx и цикл замыкается. Поэтому y(13) = y = cosx. Ответ: y(13) = y = cosx.
-
2.2. Неявно заданные функции
Пусть функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x; y) = 0. Требуется найти производные высших порядков переменной yпо независимой переменной x. Продифференцировав уравнение F(x; y) = 0 по x и разрешив полученное уравнение относительно y, найдем производную первого порядка (первую производную) y = y(x; y). Продифференцировав вновь выражение y(x; y) по x получим вторую производную y от неявно заданной функции. В выражение для y войдут x, y, y. Подставляя уже найденное значение y в выражение для второй производной, получим выражение для второй производной y= y(x; y). Аналогично вычисляют производные третьего, четвертого и более высоких порядков.
-
П р и м е р 5. Найти первые три производные yпо xв заданной неявным образом функции: x2 + y2 = 1. Решение: Продифференцируем уравнение F(x; y) = x2 + y2 1 = 0 по x: 2x + 2yy = 0, или x+ yy = 0. Отсюда y = . Продифференцируем полученное выражение для первой производной y = y(x; y) по x: y = (y) = ( ) = = = = . Аналогично поступим и для вычисления y: y = (y) = () = = = . Ответ: y = ; y = ; y= .
-
§3. Дифференциал функции3.1. Основные понятия
Пусть функция y = f(x) имеет в точке xотличную от нуля производную = f(x) 0.Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать: = f(x) + , где 0 при x 0.Т.о., y = f(x)x+ x, т.е. приращение функции yпредставляет собой сумму двух слагаемых f(x)xи x, являющихся бесконечно малыми при x 0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция (б.м.ф.) одного порядка с x, так как = f(x) 0, а второе слагаемое есть б.м.ф. более высокого порядка, чем x, т.к. = = 0. Поэтому первое слагаемое f(x)xназывается главной частью приращения функции y.
-
§3. Дифференциал функции (продолжение)
Df:Дифференциалом (первого порядка)функции y= f(x) называется главная часть ее приращения: dy= f(x)x. Замечая, что если y = x, то dy = dx = x, выражение для дифференциала,можно переписать в общепринятом виде: dy = f(x)dx. Т.е., дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной. Из последней формулы следует равенство = f(x), так что обозначение можно рассматривать и как обозначение производнойy, и как дробь – отношение дифференциалов dyи dxпеременных yи x.
-
3.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x; y) касательную MTи рассмотрим ординату этой касательной для точки с абсциссой x + x(см. рис.). На рис.:|AM| = x, |AM1| = y, |AB| = dy. Из прямоугольного треугольника AMBимеем tg = AB/AM = dy/dx = f(x). Дифференциал функции y = f(x)в точке x равенприращению ординаты этой касательной в т. x + x.
-
3.3. Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции y = f(x), а именно dy = f(x), и соответствующие теоремы о производных.Так, можно утверждать, что дифференциал постоянной величины y = cравен нулю. Действительно, в этом случае dy = cdx = 0dx = 0. Пусть u = u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции. Теорема 1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух функций определяется формулами: d(u+v) = du+dv; d(uv) = vdu + udv; d() = . Доказательство: Осуществляется на основании соответствующих теорем о производных (СРС).
-
3.3. Основные теоремы о дифференциалах (продолжение)
Теорема 2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента: dy = yudu. Доказательство: Пусть y = f(u) и u = (x) – две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию y = f((x)).По теореме о производной сложной функции можем написать: yx = yuux. Умножив обе части этого равенства на dx, имеем: yxdx = yuuxdx. Заметив, что yxdx = dyи uxdx = du, получаем требуемое: dy = yudu, ч.т.д.
-
Сравнивая формулы для дифференциалов dy = yxdx и dy = yudu, видим, что они имеют один и тот же вид, независимо от того, является ли аргумент функции y(x) илиy(u) независимой переменной xили сам является функцией другого аргумента u = u(x). Df:Независимость вида (первого) дифференциала от того является ли аргумент функции независимой переменной или сам является функцией другого аргумента, называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
-
3.4. Таблица дифференциалов
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов. Основные теоремы о дифференциалах 1. d(u v)= du dv; 2. d(uv) = duv+ udv; в частности, d(сu) = cdu; 3. d = ; в частности, d = ; 4. dy= yx dx, если y = f(x); 5. dy= yudu, если y = f(u), u = (x). Формулы дифференциалов 1. dс= 0; 2. d(u) = u1du, R; 3. d(au) =aulnadu; в частности, d(eu) =eudu;
-
3.4. Таблица дифференциалов (продолжение)
4. d(logau) =; в частности, d(lnu) =; 5. d(sinu)= cosu du; 6. d(cosu) = sinu du; 7. d(tgu) =; 8. d(ctgu) =; 9. d(arcsinu) =; 10. d(arccosu) =; 11. d(arctgu) =; 12. d(arcctgu) =. З а м е ч а н и е: Для вычисления дифференциалов большинства функций достаточно знать выписанные правила и формулы дифференцирования и строго придерживаться их при решении задач.
-
3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как известно, приращение yфункции y = f(x) в точке xможно представить в виде y= f(x)x + x, где 0 при x 0. Отбрасывая бесконечно малую функцию более высокого порядка, получим приближенно: yf(x)x= dy. Это равенство выполняется тем точнее, чем меньше x. Нередко оказывается, что дифференциал функции вычислить проще, чем приращение самой функции, поэтому формула ydyшироко применяется в практике приближенных вычислений. Формулу приближенных вычислений удобно использовать в виде: f(x + x) f(x) + f(x)x. Подразумевается, что значение функции f(x) в точке xизвестно или может быть легко найдено. Можно показать, что абсолютная погрешность y приближенной формулы не превышает величины |y| M(x)2, где M = max|f(x)|, x [x; x + x].
-
3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение)
П р и м е р 6. Вычислить приближенно arctg1,05. Решение: Обозначим f(x) = arctgxи заметим, что f(1) = arctg1 = . Кроме того, f(x) = (arctgx) = и x = 0,05. Тогда arctg1,05 arctg1 + = + 0,025 0,8104. Оценим погрешность y приближенных вычислений. Вычислим 2-ю производную: f(x) = (arctgx) = () = . С учетом «узости» промежутка [1; 1,05] оценим наибольшее значение M = |f(x)| величиной M = = 0,5. Погрешность |y| M(x)2= 0,5(0,05)2 = 125105 0,0013. Ответ: arctg1,05 0,8104 0,0013. «Точное» значение: arctg1,05= 0,80978.
-
П р и м е р 7. Вычислить приближенно . Решение: Обозначим f(x) =и заметим, что f(32) = = 2. Кроме того, f(x) = (x1/5) = x4/5и x = 1. Тогда = 2 = 1,9875. Оценим погрешность y приближенных вычислений. Вычислим 2-ю производную: f(x) = () = () = x9/5. С учетом «узости» промежутка [32; 31]оценим наибольшее значение M = |f(x)| величиной M = 329/5 = = = 0,0003125. Погрешность |y| M(x)2 = 0,000312512 0,0003. Ответ: 1,9875 0,0003. «Точное» значение: = 1,98734.
-
Еще один прикладной аспект применения дифференциального исчисления состоит в численном нахождении корня уравнения вида f(x) = 0. Пусть в результате предварительного исследования функции y = f(x) установлена единственность корняx и наn-ом итерационном шаге в точке xn значение функции равно f(xn). Следующее приближение (xn+1) выберем, проведя касательную к графику функции в точке xn (см. рис.).
-
Из геометрических соображений ясно: tg = = f(xn), откуда xn+1 = xn . Df:Это соотношение называется итерационной формулой Ньютона численного нахождения корней уравнения f(x) = 0. П р и м е р 8. Построить итерационную схему вычисления квадратного корня из числа a (a> 0). Решение: Итак, требуется найти величину x = , иными словами, найти решение уравнения f(x) = x2 a. Согласно итерационной формуле Ньютона, xn+1 = xn = . Полученная формула называется формулой Герона.
-
П р и м е р 9. С помощью итерационной формулы Герона найти величину x = с точностью лучше 106. Решение: Согласно итерационной формуле Герона, xn+1 = . Результаты вычислений запишем в таблицу (xn = xn+1 xn): Ответ: Четвертая итерация обеспечивает требуемую точность: =1,414213562.
-
3.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть y = f(x) – дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f(x)dxсам является функцией от xи можно найти дифференциал этой функции. Df:Дифференциал от (первого) дифференциала функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка); обозначается d2yили d2f(x). По определению, d2y= d(dy) = d(f(x)dx). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x): d2y= d(dy) = d(f(x)dx) = (f(x)dx)dx = (f(x))dxdx = f(x)dx2. Здесь dx2 =dxdx = (dx)2 – квадрат приращения аргумента x. Аналогично получаем для 3-го дифференциала: d3y= d(d2y) = d(f(x)dx2)= (f(x) dx2)dx = (f(x))dx2dx = = f(x)dx3, где dx3 =dx2dx = (dx)3 – куб приращения аргумента x.
-
3.6. Дифференциалы высших порядков (продолжение)
Df:Дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n1)-гопорядка функции y = f(x). называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка); обозначается dnyили dnf(x). По определению, dny= d(dn1y) = d(f(n1)(x)dxn1) = f(n)(x)dxn. Обобщая сказанное, можем записать: f(x) = ; f(x) = ; f(x) = ; f(n)(x) = , т.е. производные 1, 2, 3, …, n-го порядков функции y = f(x) можно рассматривать как отношения ее дифференциалов соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной x. З а м е ч а н и е: Дифференциалы высших порядков, т.е. порядка выше первого, не обладают свойством инвариантности, им обладает лишь дифференциал 1-го порядка.
-
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления
К числу основных теорем дифференциального исчисления относят классические теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Т е о р е м а (лемма) П. Ферма. Если функция имеет производную, и в точке с имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно нулю: f(с) = 0. Доказательство: Приведено далее, при анализе экстремального поведения дифференцируемой функции.
-
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления(продолжение)
Т е о р е м а M.Ролля (о нуле производной). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется по крайней мере одна точка c (a; b), в которой производная f(x) обращается в нуль, т.е. f(с) = 0. Доказательство: Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений; обозначим их Mи m, соответственно. Если M = m, то функция постоянна (f(x) Const) и потому f(x) 0 x (a; b).Для этого, тривиального, случая утверждение теоремы доказано.
-
§4. Теорема Ролля(продолжение)
Рассмотрим нетривиальный случай:M m. Если M m, то функция достигает хотя бы одно из значений Mили mво внутренней точке cинтервала (a; b), так как f(a) = f(b) (см. рис.). Пусть, например, функция f(x) принимает значение M = f(c) во внутренней точке с области определения функции: c [a; b]. Тогда для всех x (a; b) выполняется соотношение f(x) f(c) = M.
-
§4. Теорема Ролля (продолжение)
Найдем производную f(x) в точке x = c: f(c) = . В силу условия f(x) f(c) разность f(с+x) f(c) 0. Если x> 0, т.е. x 0+0, то справа от точки c 0 и поэтому f(с) 0. Наоборот, x<0, т.е. x 00, то слеваот точки c 0 и поэтому f(с)0. Таким образом, слева от точки cпроизводная f(с) 0; справа от точки cпроизводная f(с) 0. Следовательно, в самой точке c производная функции f(с)=0. Для случая f(c) = m, доказательство полностью аналогично, ч.т.д.
-
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции y = f(x) найдется точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. выше рис. а, б). Таких точек в области определения функции может быть несколько (см. рис.), и даже бесконечное (счетное) множество.
-
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления(продолжение)
Т е о р е м а Ж. Л. Лагранжа (обобщение теоремы Ролля). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b), то найдется по крайней мере одна точка c (a; b), такая, что выполняется равенство f(с) = , или f(b) – f(a) = f(с)(b a). Доказательство: Если f(b) = f(a), тоимеем случай доказанной выше теоремы Ролля. Рассмотрим более общий случай f(b) f(a). Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) f(a) (x a). Функция F(x) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Действительно, функция F(x) дифференцируема и непрерывна в той же области, что и исходная функция f(x); причем F(a) = F(b) = 0.
-
§4. Теорема Лагранжа (продолжение)
Согласно теореме Ролля найдется точка c (a; b) такая, что производная функции F(x) = 0 = f(x) при x = c: F(с) = f(с) = 0. Из этого равенства вытекает утверждение доказываемой теоремы: f(с) = или f(b) – f(a) = f(с)(b a), ч.т.д. С л е д с т в и е (формула Лагранжа). Применив теорему Лагранжа к отрезку [x; x + x], x> 0, будем иметь f(x+ x) – f(x) = f(c)x. Поскольку с(x; x+x), то можно записать c = x + x, где 0<<1. Df:Формулу f(x + x) =f(x)+ f(x + x)x называют формулой Лагранжа конечных приращений. З а м е ч а н и е. Формула Лагранжа дает точную величину приращения функции, однако содержит неизвестный параметр , определяющий точку cвычисления производной.
-
З а м е ч а н и е: теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Обратим внимание на то, что правая часть равенства f(с) = представляет собой угловой коэффициент секущей (см. рис.). Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функцииy = f(x) найдется точка C(c; f(c)), a
-
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления(продолжение)
Т е о р е м а О. Л. Коши (обобщение теоремы Лагранжа). Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (a; b), причем (x) 0 для всех x (a; b), то найдется по крайней мере одна точка c (a; b) такая, что выполняется равенство = . Доказательство: Заметим, что (b) (a), так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка c такая, что (с) = 0, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) f(a) ((x) (a)). Функция F(x) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Действительно, функция F(x) дифференцируема и непрерывна в той же области, что и исходные функции f(x) и (x); причем F(a) = F(b) = 0.
-
§4. Теорема Коши (продолжение)
Согласно теореме Ролля найдется точка c (a; b) такая, чтопроизводная вспомогательной функции F(x) = 0 = f(x) (x) при x = c, т.е. f(с) (с) = 0. Из этого равенства вытекает утверждение доказываемой теоремы: = , ч.т.д. С л е д с т в и е 1. Если производная функция равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. С л е д с т в и е 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
-
§5. Правила Лопиталя
Нередко при вычислении пределов под знаками пределов возникают неопределенности вида или . Основные теоремы дифференциального исчисления позволяют раскрывать эти неопределенности с помощью правил Лопиталя. Т е о р е м а о раскрытии неопределенности вида (первое правило Г. Лопиталя). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0(конечной или бесконечной) и обращаются в нуль в этой точке: f(x0) = (x0) = 0. Пусть (x) 0 в окрестности точки x0. Если существует предел = a, то = = a.
-
Доказательство: Применим к функциям f(x) и (x) теорему Коши для отрезка [x0; x], содержащего точку x0. Тогда = , где точка c(x0; x). Учитывая, что по условию теоремы f(x0) = (x0) = 0, получаем = . При x x0точка cтакже стремится к x0. Переходя к пределу, заключаем: = = a, ч.т.д. З а м е ч а н и е 1. Краткая формулировка правила: предел отношения двух бесконечно малых равен отношению их производных, если таковое существует. З а м е ч а н и е 2. Если после применения правила Лопиталя вновь получим неопределенность вида 0/0, то правило Лопиталя можно применить повторно.
-
§5. Правила Лопиталя (продолжение)
Т е о р е м а о раскрытии неопределенности вида (второе правило Г. Лопиталя). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0(конечной или бесконечной) и обращаются в бесконечность в этой точке: f(x0) = (x0) = . Пусть (x) 0 в окрестности точки x0. Если существует предел = a, то = = a. Доказательство: Для доказательства достаточно применить 1-ое правило Лопиталя к функциям f1(x) = 1/f(x) и 1(x) = 1/(x). Действительно, если = = , то = = 0.
-
На примерах рассмотрим применение правил Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида или . П р и м е р 10. С помощью правила Лопиталя найти предел: . Решение: Обозначим f(x) = = 1 ; (x) = lnx. При x 1 как f(x) 0, так и (x) 0, т.е. имеем дело с неопределенностью вида 0/0; обе функции в окрестности точки x = 1 непрерывны и дифференцируемы, причем f(x) = (1 ) = ; (x) = (lnx) = . Согласно правилу Лопиталя раскрытия неопределенностей, имеем: = = = = = 1. Ответ: = 1.
-
П р и м е р 11. Найти: . Решение: 1-ый способ. Дважды применяя правило Лопиталя, имеем: = = = == = = = 9. 2-ой способ. Заметим, что согласно формуле половинного аргумента = sin2 3x. С учетом первого замечательного предела, = = 9 = 912 = 9. Ответ: = 9.
-
П р и м е р 12. Найти: . Решение: При x как tg3x , так и tg5x . Можно было бы непосредственно применить 2-ое правило Лопиталя, однако проще предварительно преобразовать выражение под знаком предела: = = = = (1)() = . Действительно, = = = 1; кроме того, = = = = = = . Ответ: = .
-
§5. Правила Лопиталя: раскрытие неопределенностей различных видов
Правила Лопиталяприменяется для раскрытия неопределенностей вида или , которые называются основными. Однако, при вычислении пределов возникают неопределенности других видов, такие как 0, , 1, 0, 00; они сводятся к основным видам неопределенностей с помощью тождественных преобразований. 1. Неопределенность вида 0. Пусть f(x) 0; (x) при x x0. Тогда очевидны следующие эквивалентные преобразования: = {0} = = {}, или, наоборот, = {0} = = {}.
-
§5. Правила Лопиталя: раскрытие неопределенностей различных видов (продолжение)
2. Неопределенность вида . Пусть f(x) ; (x) при x x0. Тогда: = { } = = = = = {}, где f1(x) = 1/f(x),1(x) = 1/(x). 3. Неопределенностивида 1, 0, 00. Неопределенности вида 1, 0, 00, которые возникают при рассмотрении пределов вида , приводятся к уже рассмотренным неопределенностям путем предварительного логарифмирования.
-
§5. Правила Лопиталя (продолжение)
Рассмотрим несколько примеров вычисления пределов, содержащих неопределенности вида 1, 0, 00. П р и м е р 13. Найти: . Решение: При x 2 , а (2 x) 0; таким образом, имеем неопределенность вида 0. Можно предварительно преобразовать выражение под знаком предела, = = = = 1 ={} = = = . Ответ: = .
-
П р и м е р 14. Найти: . Решение: При x 0 имеем неопределенность вида 1. Пусть = A, тогда lnA = = {} = = = = 2= 211 = 2. Следовательно, A = = e2. Ответ: = e2.
-
Спасибо за внимание! Ваши вопросы, замечания, предложения …
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.