Презентация на тему "Различные подходы к построению теории действительных чисел"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Различные подходы к построению теории действительных чисел

  Подготовила: студентка 5 курса Платошина Татьяна Сергеевна Научный руководитель: к.п.н.,доцент Воробьева Н.Г

• 
  Слайд 2
  

  Цели : 1. Рассмотреть различные подходы к построению теории действительных чисел, свойства действительных чисел и ту роль, которую они сыграли в развитии математики. Задачи: Проанализировать построение множества действительных чисел в историческом аспекте. Рассмотреть подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Выделить подходы к построению действительных чисел в школьном курсе математике.

• 
  Слайд 3
  

  "Всё есть число" Пифагор "Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы" Платон

• 
  Слайд 4

  Развитие теории действительных чисел по Кантору

  Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор- немецкий математик (3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) Его научная деятельность: Диссертация 1867 г. «О неопределенных уравнениях второй степени» Работа «О преобразовании тернарных квадратичных форм» В 1895—1897г издана работа «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» Занимался математикой , философией, теорией множеств. Ввел понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных, ввел понятие кардинальных и порядковых чисел и их арифметику, рассмотрел теорию о трансфинитных числах

• 
  Слайд 5

  Теория действительных чисел поКантору

  Основной шаг, который делает Кантор в построении теории вещественного числа заключается в том, что он рассматривает всякую последовательность рациональных чисел , удовлетворяющую условию Коши как определяющую некоторое вещественное число. Две фундаментальные последовательности {an} и {bn} могут определять одно и то же вещественное число. Это имеет место при условии Таким образом, на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел устанавливается отношение эквивалентности, и в соответствии с общим принципом все фундаментальные последовательности разбиваются на классы эквивалентности. Смысл этого разбиения таков, что последовательности из одного класса определяют одно и то же вещественное число, а последовательности из разных — разные. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между вещественными числами, и классам фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

• 
  Слайд 6
  

  Теперь мы можем сформулировать основное определение теории вещественных чисел Кантора. Вещественное число есть класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Из определения вытекает, что всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому вещественному числу. Этот принцип лежал в основе определения вещественного числа. множество вещественных чисел содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов. Это свойство множества вещественных чисел называется полнотой.

• 
  Слайд 7

  Развитие теории действительных чисел по Вейерштрассу

  Карл Те́одор Вильге́льм Ве́йерштрасс (31 октября 1815 — 19 февраля 1897) — выдающийся немецкий математик, «отец современного анализа». Исследования Вейерштрасса существенно обогатили математический анализ, теорию специальных функций, вариационное исчисление, дифференциальную геометрию и линейную алгебру. Он сформулировал логическое обоснование анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого ε-δ-языкаон строго определил на этом языке понятие непрерывности. он дал строгое доказательство основных свойств непрерывных функций.предела, сходимости ряда и равномерной сходимости функций.

• 
  Слайд 8

  Теория действительных чисел поВейерштрассу.

  В основе теории вещественного числа используется предположение , что всякая десятичная дробь является разложением некоторого, рационального или иррационального, вещественного числа α: Действительным числом называется десятичный ряд вида : где а0-любое целое число, а числитель аi-целые числа, ограниченные соотношением т. е использоваться могут все цифры, причем исключено повторение 0 бесконечное множество раз.

• 
  Слайд 9
  

  Основная теорема, характеризующая непрерывность множества действительных чисел

  Если имеются два множества R1 и R2 рациональных чисел, обладающих двумя свойствами: Каждое число множества R1 не больше каждого числа множества R2 Для любого данного положительного действительного числа найдутся числа q в множестве R2 и p в множестве R1 такие, что то можно сконструировать действительное число А и притом единственное, которое не меньше каждого числа множества R1 и не больше каждого числа множества R2

• 
  Слайд 10

  Развитие теории действительных чисел по Дедекинду

  Ю́лиус Вильге́льм Ри́хард Дедеки́нд (6 октября 1831 — 12 февраля 1916) — немецкий математик. В 1852 году Дедекинд получает докторскую степень за работу над диссертацией по теории интегралов Эйлера. Ввел в математику в самом общем виде теоретико-множественное понятие отображения. В 1872 году выходит его первая работа « Непрерывность и иррациональность». В 1887 выходит вторая работа «Что такое числа и для чего они служат?».

• 
  Слайд 11

  Теория действительных чисел поДедекинду

  Сечением Дедекинда в поле рациональных чисел называется разбиение всего множества рациональных чисел на два непустых подмножества так, что каждое число, вошедшее в первое подмножество, меньше каждого числа, вошедшего во второе подмножество. каждое рациональное число должно входить в одно из этих двух подмножеств. Рассмотрим три вида сечений Дедекинда. Первый вид, когда в первом подмножестве есть наибольшее число, а во втором нет наименьшего числа, что будем передавать в виде ( R1;R2 )= , где - есть последнее в подмножестве R1.

• 
  Слайд 12
  

  Второй вид сечения, когда в первом подмножестве нет наибольшего числа, а во втором есть наименьшее число ( R1;R2 )=r , где r- наименьшее из R2 Третий вид сечения: когда в первом подмножестве нет наибольшего числа, а во втором подмножестве нет наименьшего числа. Действительным числом называется любое из трех видов сечений Дедекинда в поле рациональных чисел. Иррациональном числом называется действительное число, определяемое сечением Дедекинда в поле рациональных чисел только третьего вида.

• 
  Слайд 13

  Спасибо за внимание!