Презентация на тему "«РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ. ТЕОРЕМА ВИЕТА ДЛЯ ПРИВЕДЁННОГО МНОГОЧЛЕНА n-Й СТЕПЕНИ»" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  
• 
  Слайд 2
  

  Математика ─ наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

• 
  Слайд 3

  Актуальность

  заключается в необходимости понимать, как действует метод разложения многочленов n-й степени на линейные множители.

• 
  Слайд 4

  Проблема:

  насколько разнообразны способы разложения многочленов n-й степени на линейные множители?

• 
  Слайд 5

  Цели:

  исследование и выявление новых методов разложения многочленов n-й степени на линейные множители; решение приведённых уравнений n-й степени; совершенствование своих возможностей в области проектной деятельности и познания процесса изменения величин; воспитание чувства гордости за науку.

• 
  Слайд 6

  Задачи проекта:

  развитие интереса к исследовательско-познавательной деятельности, популяризация знаний; раскрытие творческого потенциала; развитие коммуникативных навыков; формирование управленческих умений (умения понимать поставленную задачу, понимать последовательность действий для выполнения поставленной задачи, планировать свою работу); формирование социального опыта (навыков организации, осуществление сотрудничества в процессе совместной работы, воспитание ответственности за порученное дело).

• 
  Слайд 7

  Методы:

  поисково-исследовательский метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в Интернет-ресурсах; анализ данных, полученных в ходе исследования.

• 
  Слайд 8

  Вспомним определение и свойства приведённого квадратного трёхчлена:

  приведённый квадратный трёхчлен: Р(х) = х2 + pх + q, где х ― переменная, p и q ― некоторые числа; разложим квадратный трёхчлен на множители: х2 + pх + q = (х — х1) (х — х2 ), где х1 , х2 — корни приведённого квадратного трёхчлена.

• 
  Слайд 9

  Задание 1. Составить квадратный трёхчлен по его корням х1 = 3; х2 = 5.

  Решение. На основании свойства приведённого квадратного трёхчлена, имеем: х1 = 3; х2 = 5, то (х — 3) (х — 5) = х2 — 8х + 15. Ответ: х2 — 8х + 15.

• 
  Слайд 10

  Задание 2. Решить уравнение х2 — 5 х + 6 = 0.

  Решение. х2 — 5 х + 6 = 0, х1 = 2; х2 = 3, так как — (х1 + х2) = — 5, х1 • х2 = 6. Ответ: х1 = 2; х2 = 3.

• 
  Слайд 11
  

  «Справедливы ли эти свойства для произвольного многочлена n-й степени?»

  Если х1, х2, х3,..., хn — корни приведённого многочлена Р(х) степени n, то Р(х) = (х — х1) (х — х2)... (х — хn).

• 
  Слайд 12
  

  Задание 3.Составить приведённый многочлен Р(х) 3-й степени,если х1 = 1, х2 = 2, х3 = ―1.

  Решение. Так как Р(х) = (х — х1 ) (х — х2 )... (х — хn), где х1, х2, х3,…, хn — корни приведённого многочлена Р(х) степени n, то Р(х)= (х — 1) (х — 2) (х + 1). Произведя раскрытие скобок, имеем: Р(х) = х3 — 2 х2 — х + 2. Ответ: х3 — 2 х2 — х + 2.

• 
  Слайд 13
  

  Задание 4.Составить приведённый многочлен Р(х) 4-й степени, если х1 = х2 = √2, х3 = х4 = ―√2.

  Решение. Так как Р(х) = (х — х1 ) (х — х2 )... (х — хn), где х1, х2, х3,…, хn — корни приведённого многочлена Р(х) степени n, то Р(х)= (х — √2) (х — √2) (х + √2) (х + √2). Используя формулу сокращённого умножения а2 — в2=(а — в) (а + в), имеем: Р(х) = (х2 — 2)2, Р(х) = х4 — 4 х2+ 4. Ответ: х4 — 4 х2+ 4.

• 
  Слайд 14
  

  Вывод соотношений между корнями и коэффициентами приведённого многочлена третьей и четвёртой степеней.

  Если многочлен х3 + pх2 + qx + rимеет корни х1, х2, х3, то верны равенства: р = ― (х1 + х2 + х3),q = x1х2 + х2х3 + х1х3, r = ― х1 х2 х3. Если многочлен х4 + pх3 + qx2 + rх + s имеет корни х1, х2, х3, х4, то верны равенства: р = ― (х1 + х2 + х3 + х4), q = x1х2 + x1х3 + x1х4 + х2х3 + х2х4 +х3 х4, r = ― (х1 х2 х3 + х1 х2 х4 + х2 х3 х4), s = х1 х2 х3 х4.

• 
  Слайд 15
  

  Задание 5.Числа х1, х2, х3 ― корни многочлена D(х) = 3х3 + 5х2 + х + 4.Определить: 1) х1 + х2 + х3; 2) х1 х2 х3; 3) 1/ х1 + 1/х2 + 1/х3.

  Решение. Так как D(х) = 3х3 + 5х2 + х + 4, то Р(х) = х3 + 5/3 • х2 + 1/3 • х + 4/3, где х1, х2, х3 — корни приведённого многочлена Р(х) степени 3-й.

• 
  Слайд 16
  

  х1 + х2 + х3 = — р, то 1) х1 + х2 + х3 = — 5/3. Используя r = ― х1 х2 х3 , имеем: 2) х1 х2 х3 = ― 4/3. 3) Преобразуем: 1/ х1 + 1/х2 + 1/х3 = х2 х3 : (х1 х2 х3) + х1 х3 : (х1 х2 х3) + х1 х2 : (х1 х2 х3) = (х1 х2 + х1 х3 + х2 х3) : (х1 х2 х3) = 1/3 : (― 4/3) = ― 1/4. Ответ: — 5/3; ― 4/3; ― 1/4.

• 
  Слайд 17

  Задание 6. Решить уравнение х3 — 5 х2 — х + 21 = 0.

  Решение. х3 — 5 х2 — х + 21 = 0, Так как х1 + х2 + х3 = 5; x1х2 + х2х3 + х1х3 = — 1; х1 х2 х3 = — 21. Решая систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, отыскиваем корни данного уравнения: х1 = 1 — 2√2; х2 = 3; х3 = 1 + 2√2. Ответ: х1 = 1 — 2√2; х2 = 3; х3 = 1 + 2√2.

• 
  Слайд 18

  Результаты работы:

  апробациясозданного проекта на: внеурочной деятельности школьников профильных групп; элективных занятиях; на заседании МО учителей математики, физики, информатики и ИКТ. Участие в международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований 2015».

• 
  Слайд 19

  Вывод:

  Доступность, логичность материала может быть использована для подготовки к различным типам исследований качества знаний учащихся. Отметим, что рассмотренный метод позволяет быстро определять корни приведённых уравнений n-й степени и уравнений общего вида n-й степени, производить разложение многочленов n-й степени на линейные множители.

• 
  Слайд 20

  Литература:

  Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / под ред. А. Б. Жижченко.– 3-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 368 с. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

• 
  Слайд 21

  Спасибо за внимание!