Презентация на тему "Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения" 9 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения.

  Жанатаева Алина 9 «с»

• 
  Слайд 2

  Диофантовы уравнения

  Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Диофантовы уравнения названы по имени последнего древнегреческого математика античности Диофанта Александрийского (III в.)

• 
  Слайд 3

  Биография Диофанта.

  Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

• 
  Слайд 4

  «Арифметика»

  «Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

• 
  Слайд 5
  
• 
  Слайд 6

  Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители

  Суть метода: сначала первоначальное уравнение путём группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения, затем решается система и выводится ответ.

• 
  Слайд 7

  Решить уравнение в целых числах с помощью разложения на множители.

  Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида:  Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что Получим две системы: При решении данных систем получим: 1) 2) Ответ:

• 
  Слайд 8

  Использование свойств простых чисел

  Решить в натуральныхцелых числах :19х+89у=1989 1. 19х+89у=1989 19х-1900=89-89у 19(х-100)=89(1-у) 2.(19;89) взаимно-простые, то равенство 19(х-100)=89(1-у) возможно в 3 случаях 3. а) х-100=89 b) х-100=-89 c) х-100=0 1-у=19 1-у=-19 1-у=0 a) х = нет b) х=11 c) х=100 решений у=20 у=1 ОТВЕТ: (11;20), (100;1)

• 
  Слайд 9
  

  Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части

  Решить уравнение в целых числах: х2-ху+5х-9=0. х2+5х-9 9 y= = x+5- x , y Є Z. 9ЄZ, если х=±1, ±3, ±9. x 3 ) Следовательно: а) х=-1, у=13 г) х=3, у=5 б) х=1, у=-3, д) х=-9, у=-3 в) х=-3, у=5 е) х=9, у=13 Ответ(-1;13);(1;-3);(-3;5);(3;5);(-9;-3);(9;13). x

• 
  Слайд 10

  Учет четности, нечетности чисел.

  Решить в целых числах уравнение: х3+у3-3ху=2 1)Если х, у нечетны => х3-нечетное число у3-нечетное число 3ху-нечетное число => Получаем: нечет+нечет-нечет ≠ чет 2)Если х-четное, у-нечетное => х3-четное число у3-нечетное число 3ху-четное число => Получаем: чет+нечет-чет ≠ чет (аналогично, если х-нечетное, у-четное) 3)Если х-четное, у-четное,тогда пусть х=2m, y=2n 8m3+8n3-12mn=2 4(2m3+2n3-3mn)=2/:2 2(2m3+2n3-3mn)=1/:2 2m3+2n3-3mn= 0,5 =>невозможно ни при каких целых m и n ОТВЕТ: решений нет

• 
  Слайд 11
  

  Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах: х!+у!=10z+9 (x! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (x − 1) ⋅ x ) Решение: Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или x , или y меньше 2, т.е.=1 Пусть х!=1=>y!=10z+8 Правая часть последнего равенства не делится на 5 =>y≤4 , но ни одно из целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения. =>данное уравнение не имеет решений в целых числах.

• 
  Слайд 12

  Учёт ограниченности выражений

  Решить уравнение в целых числах: 2(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7 (х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7/2 РЕШЕНИЕ: 1.Заметим что: 1) х4-2х2+3=х4-2х2+1+2=(х2-1)2+2≥2 2) 2.=> Значит левая часть ≥ 7. 3. => уравнениеравносильно системе : Откуда х =±1,у = ОТВЕТ: уравнение не имеет решений в целых числах. - 3 - +

• 
  Слайд 13
  

  Уравнения, решаемые с помощью представления левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых

  Решить в целых числах уравнение: Решение: Представим левую часть уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых. Составим систему уравнений Т.к. х и у не принадлежат Z => уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений

• 
  Слайд 14

  Учет свойств делимости.

  Решить в целых числах уравнение х3-100=225у РЕШЕНИЕ: Очевидно, что х3 должен быть кратен 5 Пусть х= 5z, z ЄZ, тогда 125z3-100=225y => 5z3-4=9y Очевидно,что левая часть уравнения должна быть кратна9,т.е a) z=3t b) z=3t+1c) z=3t-1,x=5z => 5(3t)3-4=9y 5(3t+1)3-4=9y 5(3t-1)3-4=9y 135t3-4=9y 5(27t3+27t2+9t+1)-4=9 5(27t3-27t2+9t-1)-4=9y 135t3+135t2+45t+1=9y135t3-135t2+45t-9=9y с)кратно 9 а) Не кратно 9 б)не кратно 9 => х=15t-5, y=15t3-15t2+5t-1 ОТВЕТ: (15t-5; 15t3-15t2+5t-1), t Є Z

• 
  Слайд 15
  

  Решить уравнение в целых числах: 7(х+у)=3(х2-ху+у2) РЕШЕНИЕ: Пусть х+у=р, х-у=q. =>, Подставим в исходное уравнение: 7р= 28p=3(p2+3q) Т.к. 28p=3(p2+3q), то p–неотрицательное и p кратно3, т.е p=3k, k Є Z Пусть p=3k, тогда получим 28*3k=3((3k)2 +3q2); 28k=3(3k2 +q2). Отсюда следует, что k кратно 3 =>k=3m, m Є Z; Пусть k=3m, получим 28*3m=3(3(3m)2 + q2; 28m=27m2+q2 ; m(28-27m)=q2; так как q2≥0, то m=0, или m=1 (решаем неравенство m(28-27m) ≥0 c помощью метода интервалов) 7. а) При m=0, k=0 (т.к. k=3m), p=0 (т.к. p=3k), q=0(т.к. 28p=3(p2+3q)), => х=0, у=0 (т.к. ) b)При m=1, k=3, p=9, q2=1(т.к. m(28-27m)=q2) => 1)При q= 1, получаем х=5; у=4; b) при q= -1, получаем х=4; у=5; ОТВЕТ:(5:4);(4:5);(0:0)

• 
  Слайд 16

  Спасибо за внимание!