Презентация на тему "Случайные величины и функции распределения(Ахметов С.К.)"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Случайные величины и функции распределения(Ахметов С.К.)

• 
  Слайд 2

  Основные задачи и темы курса

  Цели и задачи курса «Математические методы обработки гидрологической информации» Случайные величины и функции распределения Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии Построение кривых обеспеченностей и оценка параметров распределения по эмпирическим данным Интервальное оценивание параметров и проверка статистических гипотез Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными Случайные процессы

• 
  Слайд 3

  Случайные величины

  Большое число факторов, влияющих на гидрологические характеристики – одно из обоснований для обработки гидрологических данных с использованием аппарата теории вероятностей Случайная величина (СВ) – это величина, значение которой меняется от опыта к опыту Неслучайные или детерминированные величины - это величины, значения которых от опыта к опыту не меняются

• 
  Слайд 4

  Закон распределения случайной величины

  Закон распределенияСВ задан, если: указано множество возможных значений СВ указан способ количественного определения вероятности попадания СВ в любую область из множества возможных значений Вероятность – Р попадания СВ в интервал [a,b] можно определить следующим образом: P(a,b)= где m– число наблюдений СВ, оказавшихся в заданной области; N – общее число наблюдений. Аналитическими выражениями законов распределения случайной величины являются функции распределения – интегральная и дифференциальная.

• 
  Слайд 5

  Интегральная функция распределения F(x)

  Интегральная функция распределения F(x) СВX показывает вероятность того, что СВ не превысит некоторого заданного числа x, т.е. F(x) = P { X ≤ x}  

• 
  Слайд 6
  

  Вероятность того, что значение СВ Х заключено между х1 и х2 равно разности значений функций распределения, вычисленных в двух точках:  P {x1 x} = P {+ ∞ > X > x} = 1 – F(x)

• 
  Слайд 7

  Функция обеспеченности P(х)

  В гидрологической практике вместо функции F(x)часто используется функция обеспеченности P(х), но с включением в интервал изменений значения х P(х) = 1 - F(x) = P {X ≥ x} То есть функция обеспеченности P(х) СВ Хпоказывает вероятность превышения некоторого заданного числа х

• 
  Слайд 8
  

  Свойства интегральной функции распределения F(x)и функция обеспеченности P(х)

• 
  Слайд 9

  Дифференциальная функция распределения вероятностей

  Если функция распределения F(x) дифференцируема для всех значений СВ Х, то закон распределения вероятностей может быть выражен и в виде дифференциальной функции распределения вероятностей f(x)называют также функцией плотности распределения вероятностей или функцией плотности вероятности

• 
  Слайд 10

  Свойства функции плотности вероятностиf(x)

  С помощью дифференциальной функции распределения можно вычислить вероятность попадания СВ с любую заданную область из множества возможных значений, в частности:

• 
  Слайд 11
  

  Вычисление вероятности попадания СВ в заданную область с помощью дифференциальной функции распределения

• 
  Слайд 12

  Дискретные и непрерывные случайные величины

  Дискретная СВ – это СВ, которая принимает только конечные или счетное множество значений: х1, х2, х3….. Непрерывная СВ может принимать любые значения из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного. Интегральная функция распределения дискретной СВ Хв практических ситуациях представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках х1, х2, х3….

• 
  Слайд 13

  Ряд распределения СВ

  Интегральная функция распределения F(x)дискретной СВ не дифференцируема. Поэтому вместо функции плотности вероятности используется ее дискретный аналог, который называется рядом распределения и может представляться в виде таблицы На основании такой таблицы можно построить гистограмму распределения вероятностей дискретной СВ. Для ряда распределения дискретной СВ должно выполняться равенство

• 
  Слайд 14

  Числовые характеристики случайных величин. Мода

  Мода, медиана, математическое ожидание - этопараметры, характеризующие положение центра распределения. Модой Монепрерывной СВ Хназывается такое ее значение, которому соответствует максимум плотности вероятности МодойМо дискретнойСВ Х называется наиболее вероятное значение СВ

• 
  Слайд 15

  Медиана

  Медианой Менепрерывной СВ Х называется такое ее значение, при котором Можно сказать, что Ме – это такое значение СВ, при котором значение функции обеспеченностей равно значению интегральной функции распределения. Положение медианы на графиках дифференциальной (а) и интегральной (б) функций распределения. Для дискретных СВ медиана определяется неоднозначно и практически не употребляется.

• 
  Слайд 16

  Математическое ожидание (МО)

  Математическое ожидание (МО) СВ определяется следующими формулами МО можно трактовать как центр тяжести плотности вероятности В качестве символа МО используется обозначение М[Х]. Таким образом, для СВ Х можно записать также mx~М[Х]

• 
  Слайд 17
  

  Математическим ожиданиемможет называться генеральное среднее,в этом случае для обозначения МО используется символ N, где N→∞. Если мода, медиана и математическое ожидание совпадают, то распределение является симметричным. Если МО расположено правее медианы, то распределение является положительным, в противном случае – отрицательным.

• 
  Слайд 18

  Моменты случайной величины

  Различают начальные и центральные моменты СВ Начальный момент S – го порядка СВ равен as = M [Xs ]или Центральный момент S-го порядка СВ Х определяется формулой или МО - первый начальный момент, то есть mx=M[X1] = α1

• 
  Слайд 19

  Дисперсия

  Вторую группу наиболее часто используемых на практике параметров составляют параметры, характеризующие степень рассеяния СВ относительно центра распределения. К ним относится дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. ДисперсияСВ Х представляет собой второй центральный момент, то есть Для непрерывной СВ Х дисперсия определяется формулой

• 
  Слайд 20

  Среднеквадратичное отклонениеКоэффициент вариации

  Среднеквадратичное отклонение(СКО) СВ Х (стандарт) это квадратный корень из дисперсии. Для описания рассеяния положительных СВ можно использовать безразмерную характеристику – коэффициент вариации. Коэффициент вариации СvСВ Х это отношение СКО к МО.

• 
  Слайд 21

  Асимметрия

  Коэффициент асимметрии С является безразмерным параметром и характеризует степень симметричности рассеяния относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии определяется формулой Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю.

• 
  Слайд 22

  Эксцесс

  Эксцесс Ехтакже является безразмерным параметром и определяется формулой Эксцесс позволяет оценить островершинность, или наоборот туповершинность, функции плотности вероятности СВ Х относительно нормального закона распределения, для которого Ех =0.

• 
  Слайд 23
  

  Влияние коэффициента вариации (а) и эксцесса (б) на форму функции плотности вероятности

• 
  Слайд 24

  Свойства математического ожидания

  1.МО постоянной величины равно самой этой величине: М[c] = c, где с – константа 2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: M[cX] = cM[X] 3. МО суммы независимых СВ равно сумме их МО так, например 4. МО линейной функции от СВ выражается формулой 5. МО произведения независимых СВ равно произведению их МО:

• 
  Слайд 25

  Свойства дисперсии

  Дисперсия постоянной величины равно нулю D[c] = 0, где с = const.   2. Постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, возведя ее в квадрат 3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий 4. Дисперсия линейной функции СВ определяется выражением

• 
  Слайд 26

  Стандартные преобразования случайных величин.

  В гидрологической практике наиболее часто используется замена СВ Х модульными коэффициентами и замена СВ стандартной нормированной СВ. Модульным коэффициентом называется соотношение СВ к ее математическому ожиданию ki = xi/mx Стандартная нормированная величина может быть получена из СВ по формуле  ti = (xi -mx)/σx или с учетом формулы выше ti = (ki-1)/Cv

• 
  Слайд 27

  Квантили распределения

  Во многих практических случаях необходимо по заданной вероятности не превышения F(x) = p’ определить величину x’p. Для обозначения x’pв этом случае в математической статистике используется специальный термин – квантиль р – квантилем называется значение случайной величины x’p, соответствующее заданному значению вероятности непревышения F(x) = p’. По аналогии с квантилями в гидрологической практике используется р – ординаты кривой обеспеченности Ординатой кривой обеспеченности называется такое значение СВ Х (хр), которое соответствует заданной вероятности превышения Р(х) = р То есть Р(х)= 1- F(x), следовательно, р и р’ связаны соотношением р = 1 - р’ или (если р в %) р = 100 - р’

• 
  Слайд 28

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!