Презентация на тему "Точки"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Точки

  Точка является идеализациейочень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший научное изложение геометрии, в своей книге "Начала" определял точку как то, что не имеет частей. Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п. Точки обозначаютсяпрописными латинскими буквами A,B,C, ...,A1,B2,C3, ...,A',B'',C''',...

• 
  Слайд 2

  Прямые и плоскость

  Прямая является идеализациейтонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяетсялуч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c, ..., a1, b2, c3, ..., a', b'', c''', ... , или двумя прописными латинскими буквами AB, CD, ..., A1B1, C2D2, ..., A'B', C''D'', ... Плоскостьявляется идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

• 
  Слайд 3

  Точки и прямые

  Две прямые называютсяпересекающимися, если они имеют одну общую точку. Две прямые называютсяпараллельными, если они не имеют общих точек. В качестве аксиомы принимается следующее свойство прямых: Через любые две точки проходит единственная прямая Точка может принадлежать данной прямой, в этом случае говорят также, что прямая проходит через точку, а может и не принадлежать ей, в этом случае говорят, что прямая не проходит через точку.

• 
  Слайд 4

  Обозначения

  Точка A, точка B, точка C, … A, B, C, … a, b, c, … AB, CD, … Прямая a, прямая b, … Прямая AB, прямая CD, … Точка A принадлежит прямой a. Точка B не принадлежит прямой a.

• 
  Слайд 5

  Вопрос 1

  Какие геометрические фигуры являются основными? Ответ: Точка, прямая, плоскость.

• 
  Слайд 6

  Вопрос 2

  Какие объекты идеализирует точка? Ответ: Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких, размерами которых можно пренебречь.

• 
  Слайд 7

  Вопрос 3

  Какие объекты идеализирует прямая? Ответ: Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы, по прямой распространяется свет.

• 
  Слайд 8

  Вопрос 4

  Какие объекты идеализирует плоскость? Ответ: Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

• 
  Слайд 9

  Вопрос 5

  Как Евклид определял точку? Ответ:Евклидопределял точку как то, что не имеет частей.

• 
  Слайд 10

  Вопрос 6

  Как изображаются точки? Ответ:Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п.

• 
  Слайд 11

  Вопрос 7

  Как обозначаютсяточки? Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами A,B,C, ….

• 
  Слайд 12

  Вопрос 8

  Как проводятся прямые? Ответ:Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки.

• 
  Слайд 13

  Вопрос 9

  Как обозначаютсяпрямые? Ответ: Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c, ..., или двумя прописными латинскими буквами AB, CD, ... .

• 
  Слайд 14

  Вопрос 10

  Какие свойства основных геометрических фигур называются аксиомами? Ответ: Аксиомами называются свойства геометрических фигур, принимаемые без доказательства.

• 
  Слайд 15

  Вопрос 11

  Как переводится слово «аксиома» с греческого языка? Ответ: Достойное признания, не вызывающее сомнения

• 
  Слайд 16

  Вопрос 12

  Как могут располагаться друг относительно друга точка и прямая? Ответ: Точка может принадлежать данной прямой, а может и не принадлежать ей.

• 
  Слайд 17

  Вопрос 13

  Какое свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек и прямой? Ответ: Через любые две точки проходит единственная прямая.

• 
  Слайд 18

  Вопрос 14

  Какие две прямые называются пересекающимися? Ответ: Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

• 
  Слайд 19

  Вопрос 15

  Какие две прямые называются параллельными? Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

• 
  Слайд 20

  Упражнение 1

  Сколько прямых можно провести через: а) одну точку;б) две точки? Ответ: а) Бесконечно много; б) одну.

• 
  Слайд 21

  Упражнение 2

  Сколько прямых можно провести через три точки? Ответ: Либо одну, либо ни одной.

• 
  Слайд 22

  Упражнение 3

  Сколько прямых изображено на рисунке? Сколько у них точек попарных пересечений? Ответ: 5 прямых, 10 точек.

• 
  Слайд 23

  Упражнение 4

  Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек, не лежащих на одной прямой? Ответ: Три.

• 
  Слайд 24

  Упражнение 5

  Сколько прямых можно провести через различные пары из четырех точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 6.

• 
  Слайд 25

  Упражнение 6

  Сколько прямых можно провести через различные пары из пяти точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 10.

• 
  Слайд 26

  Упражнение 7

  Сколько прямых можно провести через различные пары из n точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Решение:Пусть A1, …, An – n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Зафиксируем точку A1. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A1 проходит одна прямая, то через точку A1будет проходитьn – 1 прямая. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки A1, справедливы для любой другой точки. Поскольку всего nточек и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число прямых, посчитанных для всех точек, будет равно n(n – 1). При этом, поскольку одна прямаяпроходитчерез две точки, то каждую прямую посчитаем дважды, один раз как прямую, проходящую через одну точку, а другой – как прямую, проходящую через вторую точку.Поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, будет равно .

• 
  Слайд 27

  Упражнение 8

  Сколько различных точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Ответ: Ни одной, одну, две, три.

• 
  Слайд 28

  Упражнение 9

  Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые? Ответ: 6.

• 
  Слайд 29

  Упражнение 10

  Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых? Ответ: 10.

• 
  Слайд 30

  Упражнение 11

  Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь n прямых? Решение:Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая прямая имеет n – 1 точку пересечения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи 7. Имеетсяn прямых и на каждой прямой n – 1 точка. При этом, каждая точка принадлежит ровно двум прямым. Следовательно, число точек попарных пересечений будет равно .