Содержание
-
Аналитическая геометрия
Лекции по математике для студентов I курса
-
Содержание
Геометрические векторы Линейные операции над векторами и их свойства Скалярное произведение векторов Расстояние между точками
-
Геометрические векторы
Геометрический вектор – это направленный отрезок. Обозначения: ,
-
Длина вектора – это расстояние между начальной и конечной точками. Обозначения: , или просто АВ, а. Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Обозначение: .
-
Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: .
-
Векторы называют компланарными, если они лежат в одной плоскости. Два вектора называют равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и направление. Свободным называют вектор, который можно перемещать в пространстве параллельно его направлению.
-
Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число. Суммой двух геометрических векторов и называется вектор, который можно построить или по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
-
Сложение векторов
Пусть требуется сложить векторы и , изображённые на рисунке.
-
Правило треугольника
Параллельным переносом совместим конец вектора с началом вектора . Тогда суммой + будем называть вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора .
-
Правило параллелограмма
Параллельным переносом совместим начало вектора и начало вектора . Достроим параллелограмм на концах векторов. Суммой векторов и будем называть вектор , являющийся диагональю параллелограмма, начало которого совпадает с началом векторов и .
-
Свойства сложения векторов
Коммутативность: Ассоциативность: Существование нулевого вектора такого, что Для любого вектора существует противоположный вектор ( )такой, что
-
Разность векторов
Можно доказать, что для любых векторов и существует такой вектор , который, будучи сложен с , даст вектор : Такой вектор называют геометрической разностью:
-
Произведение вектора на число
Произведением вектора на вещественное число называется вектор , имеющий длину, равную произведению чисел и направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное, если .
-
Свойства произведения
Ассоциативность сомножителей: _ Дистрибутивность относительно суммы векторов: Дистрибутивность относительно суммы чисел: Существование числа 1:
-
Скалярное произведение векторов
Угол между векторами будем обозначать Углом между двумя векторами будем называть угол, который не превосходит .
-
Скалярным произведением двух геометрических векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
-
Если , то , т.к. . Если , то , т.к. . Если , то , т.к. .
-
Пример 1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если ; и . Решение:
-
Скалярное произведение векторов
Необходимое и достаточное условие перепендикулярности векторов Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны, т.к. и наоборот.
-
Свойства скалярного произведения
Коммутативность: Ассоциативность: Дистрибутивность относительно суммы векторов: Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.
-
Угол между векторами
Так как , то угол между векторами можно вычислять по формуле:
-
Пример 2. Вычислить угол между векторами и , если Решение: и скалярное произведение векторов равно -3 , , Ответ:
-
Рене Декарт предложил координатный метод
Метод позволяет описывать геометрические объекты аналитически, т.е. на языке алгебры.
-
Одномерная система координат
Прямая с заданным направлением Задана точка – начало координат Выбран единичный масштаб
-
Координата точки
Координата точки равна расстоянию от начала координат до заданной точки Координата положительна, если направление вектора совпадает с направлением координатной оси Иначе координата точки отрицательна
-
Двумерная система координат
-
Трёхмерная система координат
-
Правая система координат Левая система координат Поворот от оси Ox к оси Oy против часовой стрелки Поворот от оси Oy к оси Ox по часовой стрелке
-
Расстояние между точками на прямой линии
d=|хA-хB|
-
Расстояние между точками на плоскости
-
Расстояние между точками в геометрическом пространстве
-
Пример 3. Дано: А (1, -3, 5) В (2, 4, -6) d - ? Решение:
-
-
-
Расстояние между точками пространства
Длина вектора – это расстояние между двумя точками: началом и концом вектора
-
Из определения скалярного произведения следует, что , т.к. cos0=1. Следовательно, . (расстояние между 2-я точками) Вывод. Длину вектора можно найти с помощью операции скалярного произведения. В этом случае говорят, что в линейном векторном пространстве геометрических векторов введена метрика, т.е. способ вычисления расстояний между точками этого пространства.
-
Свойства длины вектора
1. 2. , - вещественное число 3. - неравенство Коши- Буняковского 4. - неравенство треугольника
-
Пример 3. Вычислить длину вектора , если и Решение: ,
-
Ортонормированный базис
-
Пример 4. Известны координаты начальной и конечной точек вектора : A(1, 3, -2) и B(-1, 2, 7). Разложить вектор по базису , , . Решение. В примере 1 были найдены координаты вектора (-2; -1; 9). Следовательно =-2 - +9 Ответ: =-2 - +9
-
Пример 2. Известны координаты начальной и конечной точек вектора : A(1, 3, -2) и B(-1, 2, 7). Разложить вектор по базису , , . Решение. В примере 1 были найдены координаты вектора (-2; -1; 9). Следовательно =-2 - +9 Ответ: =-2 - +9
-
Пример 2. Известны координаты начальной и конечной точек вектора : A(1, 3, -2)и B(-1, 2, 7). Разложить вектор по ортонормированному базису Решение. В примере 1 были найдены координаты вектора (-2; -1; 9). Следовательно =-2 - +9 Ответ: =-2 - +9
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.