Презентация на тему "Фазовое пространство и фазовая плоскость"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Фазовое пространство и фазовая плоскость

  М Метод фазового пространства основан на графическом представлении движения системы. Универсальных методов исследования нелинейных систем нет. Наиболее распространёнными методами интегрирования нелинейных уравнений являются метод фазового пространства (фазовой плоскости) и метод гармонической линеаризации. Текущая точка М, соответствующая состоянию системы в момент времени t, называется изображающей точкой. x y z Фазовое пространство – пространство, каждой точке которого однозначно соответствует определённое состояние системы. С течением времени координаты системы меняются, в связи с чем меняются координаты изображающей точки. Параметры, характеризующие состояние системы, называются параметрами состояния. Система n-го порядка характеризуется nпараметрами состояния, то есть, её поведение должно отображаться в n- мерном пространстве. В трёхмерном пространстве можно оценить свойства систем третьего порядка. Движение изображающей описывает в пространстве кривую, называемую фазовой траекторией. По виду фазовых траекторий можно судить о свойствах нелинейной системы.

• 
  Слайд 2
  

  Ось у пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, так как здесь скорость изменения у равна нулю. Наибольшее распространение способ получил при исследовании нелинейных систем второго порядка. Метод фазового пространства при этом становится методом фазовой плоскости. В качестве параметров состояния используют выходную величину у (по оси абсцисс) и её производную по времени у Как правило, исследуется свободное движение нелинейной системы: система выводится из состояния равновесия (задаются начальные условия), затем воздействие снимается. Правая часть дифференциального уравнения равна нулю, так как внешних воздействий (задающего и возмущающих) нет. Дифференциальное уравнение второго порядка представляется двумя дифференциальными уравнениями первого порядка: Уравнение фазовой траектории получается исключением времени t из этих уравнений (делением второго на первое): В верхней полуплоскости фазовые траектории направлены слева направо, так как при увеличении у её производная по времени z > 0. В нижней полуплоскости фазовые траектории направлены справа налево, так как при уменьшении уz

• 
  Слайд 3

  Изображение переходных процессов на фазовой плоскости

  к б м к д а е Кривая z = f(t) показана штриховой линией. Рассмотрим, как изображаются переходные процессы на фазовой плоскости. б в г л y(t) z(t) t y z Предположим, переходной процесс – затухающие колебания. Построим кривую y z а в г д е л м В точке аZ = 0. То же в точках в, д, к, м. В точках б, г, е, лZ имеет максимумы. ? Кривая Z показана штриховой линией. Нанесём эти точки на фазовую плоскость и соединим кривой. Это фазовая траектория. y z z y(t) z(t) Проделаем то же для расходящихся колебаний (неустойчивая система). Фазовая траектория имеет вид y t Вывод: затухающие колебания на фазовой плоскости изображаются в виде сходящихся спиральных кривых; расходящиеся колебания на фазовой плоскости изображаются в виде расходящихся спиральных кривых. y z Незатухающий колебательный процесс изобразится в виде замкнутой кривой. ? За один период колебаний изображающая переместится по всему контуру фазовой траектории.

• 
  Слайд 4
  

  По виду фазовых траекторий можно определить устойчивость системы и характер переходных процессов. Если переходные процессы монотонные: 1) устойчивый: y(t) y(t) y z y t фазовая траектория 2) неустойчивый: фазовая траектория t z y z(t) z(t) y Переход от фазовых траекторий к временным характеристикам осуществляется по специальным методикам. Недостатком исследования систем методом фазовой плоскости является то, что этим методом можно исследовать только системы второго порядка.