Презентация на тему "Исследование насыщения рынка автомобилей"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Исследование насыщения рынка автомобилей

• 
  Слайд 2
  

  Используемый математический аппарат: математическое описание насыщения рынка автомобилей осуществляется с помощью обыкновенного дифференциального уравнения с начальными условиями. Объектом исследования является рынок автомобилей в стране. Допустим, что к моменту начала исследований в стране было N легковых автомобилей. В течение ближайших лет предполагается производить по P легковых автомобилей в год. Средний срок службы автомобиля K лет.

• 
  Слайд 3
  

  Цель исследования: изучение динамики роста автомобилей в стране. Для этого будем рассматривать процесс пополнения рынка (выпуск автомобилей) и процесс уменьшения количества автомобилей на рынке (ограничение срока службы автомобиля) в течение года. Для упрощения модели другие процессы, влияющие на динамику рынка, рассматривать не будем. Состояние рынка характеризуется количеством автомобилей, действующих в определенный момент времени t. Пусть количество автомобилей на рынке является функцией от времени и составляет y(t) автомобилей.

• 
  Слайд 4
  

  По условию задачи срок службы автомобиля равен Kгодам, следовательно, в среднем, выходит из строя в год доля, равная 1/K. Значит, интенсивность процесса выхода автомобиля из строя равна j(t)=1/K. Количество автомобилей за промежуток времени Δt увеличится на количество автомобилей, произведенных за этот период времени. Таких автомобилей будет P × Δt. Количество автомобилей на рынке страны за промежуток времени Δt уменьшится на число автомобилей, вышедших из строя. j(t) × y(t) × Δt.

• 
  Слайд 5
  

  Запишем уравнение баланса численности автомобилей на рынке за промежуток времени Δt Δy = y(t + Δt) – y(t) = P × Δt – j(t) × y(t) × Δt Разделим обе части уравнения на Δt Δy/Δt = P - j(t) × y(t). Переходя к пределу при Δt →0, получим в левой части уравнения производную, которую обозначим как y´(t) = P - j(t) × y(t). Определив начальные значения и параметры уравнения, можем решить дифференциальную задачу Коши.

• 
  Слайд 6
  

  Положим, что T = 100, т.е. станем изучать динамику рынка в течение 100 лет, а начальным значением для t будет 1, то есть t0 =1. Начальным значением для y(t) является N число автомобилей в стране к моменту исследований, т.е y(1) = N. Пусть N = 2×106 Предположим, ежегодный выпуск автомобилей составляет 106, а срок службы автомобиля – 10 лет. Таким образом, P = 106, а K = 10. ,

• 
  Слайд 7
  

  Согласно алгоритму явной схемы Эйлера необходимо: 1) Построить расчетную сетку, для которой сначала подсчитаем количество и зададим нумерацию узлов сетки τ = ti+1 – ti , n = T - t0 / τ, i = 0, …, n; ti = t0+ i× τ; 2) Записать конечно-разностное уравнение явного метода Эйлера для решения дифференциального уравнения yi+1 =yi + τ × f(yi,ti), где f(y,t) = P - j(t) × y(t). Решением уравнения будет функция y(t), показывающая динамику насыщения рынка автомобилей в течение 100 лет.

• 
  Слайд 8

  Анализ результатов расчета

  В течение 40 лет наблюдается значительный рост количества автомобилей на рынке страны. В следующие 40 лет прирост автомобилей резко замедляется и к 80-му году наблюдается стабилизация рынка.