Презентация на тему "Задания на производную"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Задачи, приводящие к понятию производной.

  X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  В начале было слово.

  К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела. Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

• 
  Слайд 3
  

  Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое? Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

• 
  Слайд 4
  

  А как Вы представляете себе мгновенную скорость? Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной

• 
  Слайд 5
  

  Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость». Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса. Итак, проблема поставлена. Приступим к её решению.

• 
  Слайд 6
  

  Остановись мгновенье – мы тебя исследуем ! Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему ? Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

• 
  Слайд 7

  Производная

  Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

• 
  Слайд 8
  

  Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость vпостепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

• 
  Слайд 9
  

  Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t)скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h. Сказанное записывают в виде

• 
  Слайд 10

  Задача о мгновенной скорости

  Предел средней скорости за промежуток времени от t0до t при t→ t0, называется мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0 v(t0) =

• 
  Слайд 11

  А л г о р и т м

  ∆t = t – t0∆x = x – x0 ∆v = v(t+t0) - v(t0) ∆f = f(x+x0) – f(x0) . . На языке предмета На математическом языке

• 
  Слайд 12
  

  Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).

• 
  Слайд 13

  Задача о касательной к графику функции

  y = f(x) x y x0 М0(х0 ,у0) β А  В x М(х ,у) С ∆х=х-х0 ∆f(x) = f(x) - f(x0) tgβ = При х→х0

• 
  Слайд 14

  А л г о р и т м

  1)∆x = x – x0 2) ∆f = f(x+x0) – f(x0) 3) 4)

• 
  Слайд 15
  

  y=f(x) M0 M T x0 x0+∆x ∆x ∆y y x 0 Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле

• 
  Слайд 16
  

  Задача о скорости химической реакции Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени

• 
  Слайд 17

  А л г о р и т м

  ∆t = t – t0∆x = x – x0 ∆f = f(t1) - f(t0) ∆f = f(x) – f(x0) . . На языке предмета На математическом языке

• 
  Слайд 18

  Задача о теплоёмкости тела

  Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1= 0 до t2 = τ, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры τ, до которой тело нагревается: Q=Q(τ). Пусть температура повысилась с τ до τ +Δτ. Количество тепла ΔQ, затраченное для этого нагревания равно: ΔQ=Q(τ+Δτ)-Q(τ). Отношение есть количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры τ. Теплоёмкостью при температуре τназыва-ется предел отношения приращения количества тепла ΔQк приращению температуры Δτ.( при Δτ→0)

• 
  Слайд 19

  А л г о р и т м

  ∆τ = τ – τ0∆x = x – x0 ∆Q = Q(τ1) - Q(τ0) ∆f = f(x) – f(x0) . . На языке предмета На математическом языке

• 
  Слайд 20

  Задача о мгновенной величине тока

  Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента tдо момента t + Δt. Тогда отношениеназывают средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.

• 
  Слайд 21

  А л г о р и т м

  ∆t = t – t0∆x = x – x0 ∆q = q(t1) - q(t0) ∆f = f(x) – f(x0) . . На языке предмета На математическом языке

• 
  Слайд 22

  Экономические задачи

  Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства. В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.C(t)СС

• 
  Слайд 23
  

  Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер. Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки: При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price). Таким образом ,  MR= P. Экономические задачи

• 
  Слайд 24

  Экономические задачи

  Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+ u= u(t0+ t). Тогда средняя производительность труда за этот период поэтому производительность труда в момент t0

• 
  Слайд 25

  Рост численности населения

  Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Пусть у=у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за t=t-t0 y=k∙ y ∙t,где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности) получим

• 
  Слайд 26

  Выводы

  Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: Присвоить ей новый термин. Ввести для неё обозначение. Исследовать свойства новой модели. Определить возможности применения нового понятия - производная

• 
  Слайд 27

  Определение производной

  Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

• 
  Слайд 28
  

  Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловойкоэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0; в) мгновенная сила токаI(t) в момент tесть производная от количества электричества q(t)по времени; г) теплоёмкостьС(τ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q(τ), получаемого телом; д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

• 
  Слайд 29

  А это значит:

  Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств У нас впереди огромные возможности для исследовательской работы в новых проектах! «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

• 
  Слайд 30

  Авторы:

  Учащиеся 10 класса Амбарцумян Ануш, Дешевых Андрей, Рындин Вячеслав, Макаровская Ирина Леликова Евгения, Морохов Александр.