Презентация на тему "Лекция № 2. Числовые характеристики выборки"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Лекция № 2. Числовые характеристики выборки

• 
  Слайд 2
  

  Выборочное среднее. Выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение

  В теории вероятностей определили числовые характеристики для случайных величин, с помощью которых можно сравнивать однотипные случайные величины. Аналогично можно определить ряд числовых характеристик и для выборки. Поскольку эти характеристики вычисляются по статистическим данным (по данным, полученным в результате наблюдений), их называют статистическими характеристиками.

• 
  Слайд 3
  

  Пусть дано статистическое распределение выборки объёма n: где m – число ваиантов.

• 
  Слайд 4
  

  Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки. Выборочное среднее можно записать и так: , где: - частость. В случае интервального статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а ni – соответствующие им частоты.

• 
  Слайд 5
  

  Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений выборки от выборочного среднего : или Выборочное среднее квадратическое выборки определяется формулой:

• 
  Слайд 6
  

  Особенность состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и данные выборки. Если объём выборки мал ( ), то пользуются исправленной выборочной дисперсией: Величина называется исправленным средним квадратическим отклонением.

• 
  Слайд 7

  Выборочные начальные и центральные моменты. Асимметрия. Эксцесс.

  Приведём краткий обзор характеристик, которые наряду с уже рассмотренными применяются для анализа статистических рядов и являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины. Среднее выборочное и выборочная дисперсия являются частным случаем более общего понятия – момента статистического ряда.

• 
  Слайд 8
  

  Начальным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое l – х-степеней всех значений выборки: или . Из определения следует , что начальный выборочный момент первого порядка: Центральным выборочным моментом порядка l называется среднее арифметическое l-х-степеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего . или

• 
  Слайд 9
  

  Из определения следует, что центральный выборочный момент второго порядка :

• 
  Слайд 10
  

  Выборочным коэффициентом асимметрии называется число , определяемое формулой: Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из его ветвей, начиная с вершины, имеет больший «спуск», чем другая. Если , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева; если - справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором – правосторонней.

• 
  Слайд 11
  

  Выборочным коэффициентом эксцесса или коэффициентом крутости называется число , определяемое формулой: . Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением. Коэффициент эксцесса для случайной величины, распределённой по нормальному закону, равен 0. Поэтому за стандартное значение выборочного эксцесса принимают . Если , то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой ; если , то полигон более крутой по сравнению с нормально кривой.

• 
  Слайд 12
  

  Вычисление числовых характеристик выборки

• 
  Слайд 13
  

  -середина интервалов; - частоты; - объём выборки; с помощью суммы находим с помощью суммы находим и с помощью суммы находим С помощью суммы находим

• 
  Слайд 14
  

  Упрощённый способ вычисления статистических характеристик вариационных рядов

  При больших значениях вариантов и соответствующих им частот вычисление выборочного среднего, дисперсии и выборочного моментов по приведённым ниже формулам приводит к громоздким вычислениям. В этом случае условные варианты , определяемые по формулам , где числа с и hвыбираются произвольно. Чтобы упростить вычисления, в качестве с выбирают вариант, который имеет наибольшую частоту или находится в середине ряда. Число с называется «ложным нулём». В качестве h выбирают число равное длине интервала (в случае интервального ряда) или наибольший общий делитель разностей .

• 
  Слайд 15

  Для вычисления числовых характеристик выборки составляем таблицу

  Контроль:

• 
  Слайд 16
  

  С помощью сумм, полученных в нижней строке таблицы, находим условные моменты: Числовые характеристики выборки вычисляем по формулам: где и находим по формулам:

• 
  Слайд 17
  

  Пример. Вычислить числовые характеристики выборки, рассмотренной в примере 2. В качестве вариантов возьмём середины интервалов. Перейдём к условным вариантам. Вариант, значение которого 0,04, имеет наибольшую частоту и находится в середине модального ряда. Примем его за «ложный ноль» (начало отсчёта). Условные варианты найдём по формуле: , где с = 0,04 h = 0,6

• 
  Слайд 18
  

  Составим расчётную таблицу:

• 
  Слайд 19
  

  Контроль: → расчёты проведены верно. По данным таблицы находим условные моменты: Находим числовые характеристики выборки:

• 
  Слайд 20
  

  Вычислим центральные моменты третьего и четвёртого порядка: Вычислим выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса: