Презентация на тему "Лекция 3.2. Криволинейные интегралы."

Содержание

• 
  Слайд 1

  Лекция 3.2. Криволинейные интегралы.

  3. Формула Грина Теорема (формула Грина): Следствие 1: Пример. Вычислить  

• 
  Слайд 2
  

  4. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Теорема. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в области D. Тогда следующие три условия эквивалентны. 1. Для любой замкнутой (возможно самопересекающейся) кусочно-гладкой кривой L, расположенной в D, = 0 2. Для любых двух точек А и В области D значение интеграла не зависит от кусочно-гладкой кривой L, соединяющей точки А и В и расположенной в D. 3. Дифференциальная форма Р(х, у) dx + Q(x, у) dy представляет собой полный дифференциал. Иными словами, в D существуеттакая функция u(М) = u(х, у), что du = Pdx + Qdy.В этом случае для любых точек А и В из области D и для произвольной кусочно-гладкой кривой L, соединяющей эти точки и расположенной в D, = u(В) - u(А). Теорема.Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) и их частные производные непрерывны в односвязной области D. Тогда каждое из трех условий 1; 2; 3 предыдущей теоремы эквивалентно следующему (четвертому) условию  

• 
  Слайд 3

  Лекция 3.2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

  1. Понятие поверхности Множество Ф точек трехмерного пространства называется элементарной поверхностью, если это множество является образом открытого круга G при гомеоморфном отображении G в пространство. Множество Ф точек пространства называется простой поверхностью, если это множество связно и любая точка этого множества имеет окрестность, которая является элементарной поверхностью. Поверхность Ф, точки которой имеют координаты x, у, z,называется регулярной (kраз дифференцируемой), если при некотором k 1 у каждой точки Ф есть окрестность, допускающая kраз дифференцируемую параметризацию: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), в которых функции х(u, v), у (u, v), z(u, v) являются kраз дифференцируемыми в области G. Если k= 1, то поверхность обычно называется гладкой. Точка регулярной поверхности называется обыкновенной, если существует такая регулярная параметризация некоторой ее окрестности, что в этой точке ранг матрицы равен двум. В противном случае точка поверхности называется особой.  

• 
  Слайд 4
  

  В любой обыкновенной точке гладкой поверхности существует касательная плоскость. Нормалью к поверхности Ф в точке M0называется прямая, проходящая через M0и перпендикулярная к касательной плоскости в M0. Вектором нормали к поверхности в точке M0будем называть любой ненулевой вектор, коллинеарный нормали в M0. Пусть M0— обыкновенная точка гладкой поверхности Ф. Тогда, вектор N = [ru,rv] Понятие площади поверхности. Пусть Ф —ограниченная полная двусторонняя поверхность. Разобьем Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Фi, каждая из которых однозначно проецируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку этой части. Обозначим через максимальный из размеров частей Фi, а через Qi— площадь проекции Фiна касательную плоскость в некоторой точке Mi части Фi. Составим далее сумму Qi всех указанных площадей. Определение 1. Число Qназывается пределом сумм при  0, если для любого > 0 можно указать такое > 0, что для всех разбиений Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Фiдля которых 

• 
  Слайд 5
  

  Площадь а поверхности может бытьнайдена по формуле Поверхностные интегралы Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная двусторонняя поверхность. Пусть на Ф задана функция f(M) точки М поверхности Ф. Обозначим через n(М) непрерывное векторное поле единичных нормалей к Ф. Разобьем поверхность Ф кусочно-гладкими кривыми на части Фiи на каждой такой части выберем произвольно точку Мi. Введем следующие обозначения: — максимальный размер частей Фi; Qi— площадь Фi; i, i, i -углы, которые составляет с осями координат вектор n(Mi). Составим следующие четыре суммы:  

• 
  Слайд 6
  

  Определение. Число I называется пределом суммпри 0, если для любого > 0 можно указать такое > 0, что для любых разбиений поверхности Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Фi, максимальный размер которых меньше , независимо от выбора точек Miна частях Фiвыполняется неравенство . Предел сумм при  0 называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности Ф и обозначается следующим образом: Пределы сумм остальных сумм при  0 называются поверхностными интегралами второго рода от функции f(М) по поверхности Ф. Для этих интегралов соответственно используются обозначения