Содержание
-
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Лекция 2
-
Полное приращение функции 2-х переменных
Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение
-
Определение дифференцируемой функции
Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде , где Δxи Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящиеот Δxи Δy, o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем -расстояние между М(х,у) и
-
Определение дифференциала
Главная линейная относительно Δxи Δy часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dzили df(x,y) . Таким образом, .
-
Формула для вычисления дифференциала
Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В . Так что, . Если положить ,то
-
При малых , то есть , или . Пример. Вычислить приближенно .
-
Дифференциалы высшего порядка
Дифференциалом второго порядка функцииz=f(x,y) называется Вообще: Если х и у независимые переменные, то .
-
Экстремумы функции двух переменных
Определение. Говорят, что в точке функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство Аналогично определяется минимум функции. Минимум и максимум функции называются ее экстремумами. .
-
Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.
-
Достаточные условия экстремума функции двух переменных
Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если . Если же в этой точке , то экстремума в точке нет. В том случае, если в точке , теорема ответа не дает.
-
Пример
Исследовать на экстремум функцию
-
Наибольшее и наименьшее значения функции
Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.
-
Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.
-
Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции; 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
-
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , .
-
Скалярное поле
Лекция 3
-
Основные определения
Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.
-
Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.
-
Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским. Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.
-
Пусть
-
Линии уровня
Пусть . Линии уровня этой поверхности имеют вид
-
Пусть дан конус
-
Линии уровня конуса
-
Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля. Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат .
-
Определение
Пусть – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции внаправлении назовем разность x P γ y ℓ z x P1 β α 0 Рис.
-
Производной функции в точке P по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .
-
Вычисление производной по направлению
Формула вычисления производной по направлению:
-
Градиент скалярного поля
Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами . Таким образом, или .
-
Пример
Найти градиент функции u= в точке M(6,2,3). Решение. Вычислим градиент функции. Тогда grad u =++ А в точке М
-
Направление градиента
Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).
-
Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.
-
Величина градиента плоского скалярного поля
Величина градиента плоского скалярного поля ,т.е. grad u = обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).
-
Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е. , где .
-
Направление градиента
Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется особойточкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют неособой или обыкновенной точкой поля. Теорема. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня , проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.