Презентация на тему "Полный дифференциал функции нескольких переменных"

Презентация: Полный дифференциал функции нескольких переменных
Включить эффекты
1 из 34
Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
0.0
0 оценок

Комментарии

Нет комментариев для данной презентации

Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.


Добавить свой комментарий

Аннотация к презентации

Презентация на тему "Полный дифференциал функции нескольких переменных" по математике. Состоит из 34 слайдов. Размер файла 0.41 Мб. Каталог презентаций в формате powerpoint. Можно бесплатно скачать материал к себе на компьютер или смотреть его онлайн с анимацией.

  • Формат
    pptx (powerpoint)
  • Количество слайдов
    34
  • Слова
    математика
  • Конспект
    Отсутствует

Содержание

  • Презентация: Полный дифференциал функции нескольких переменных
    Слайд 1

    Полный дифференциал функции нескольких переменных

    Лекция 2

  • Слайд 2

    Полное приращение функции 2-х переменных

    Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

  • Слайд 3

    Определение дифференцируемой функции

    Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде , где Δxи Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящиеот Δxи Δy, o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем -расстояние между М(х,у) и

  • Слайд 4

    Определение дифференциала

    Главная линейная относительно Δxи Δy часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dzили df(x,y) . Таким образом, .

  • Слайд 5

    Формула для вычисления дифференциала

    Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В . Так что, . Если положить ,то

  • Слайд 6

    При малых , то есть , или . Пример. Вычислить приближенно .

  • Слайд 7

    Дифференциалы высшего порядка

    Дифференциалом второго порядка функцииz=f(x,y) называется Вообще: Если х и у независимые переменные, то .

  • Слайд 8

    Экстремумы функции двух переменных

    Определение. Говорят, что в точке функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство Аналогично определяется минимум функции. Минимум и максимум функции называются ее экстремумами. .

  • Слайд 9

    Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

  • Слайд 10

    Достаточные условия экстремума функции двух переменных

    Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если . Если же в этой точке , то экстремума в точке нет. В том случае, если в точке , теорема ответа не дает.

  • Слайд 11

    Пример

    Исследовать на экстремум функцию

  • Слайд 12

    Наибольшее и наименьшее значения функции

    Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

  • Слайд 13

    Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

  • Слайд 14

    Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции; 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

  • Слайд 15

    Пример

    Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , .

  • Слайд 16

    Скалярное поле

    Лекция 3

  • Слайд 17

    Основные определения

    Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

  • Слайд 18

    Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.

  • Слайд 19

    Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским. Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

  • Слайд 20

    Пусть

  • Слайд 21

    Линии уровня

    Пусть . Линии уровня этой поверхности имеют вид

  • Слайд 22

    Пусть дан конус

  • Слайд 23

    Линии уровня конуса

  • Слайд 24

    Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля. Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат .

  • Слайд 25

    Определение

    Пусть – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции внаправлении назовем разность x P γ y ℓ z x P1 β α 0 Рис.

  • Слайд 26

    Производной функции в точке P по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .

  • Слайд 27

    Вычисление производной по направлению

    Формула вычисления производной по направлению:

  • Слайд 28

    Градиент скалярного поля

    Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами . Таким образом, или .

  • Слайд 29

    Пример

    Найти градиент функции u= в точке M(6,2,3). Решение. Вычислим градиент функции. Тогда grad u =++ А в точке М

  • Слайд 30

    Направление градиента

    Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).

  • Слайд 31

    Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

  • Слайд 32

    Величина градиента плоского скалярного поля

    Величина градиента плоского скалярного поля ,т.е. grad u  = обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

  • Слайд 33

    Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е. , где .

  • Слайд 34

    Направление градиента

    Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется особойточкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют неособой или обыкновенной точкой поля. Теорема. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня , проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.

Посмотреть все слайды

Сообщить об ошибке