Презентация на тему "§ Плоскость1. Общее уравнение плоскости"

Содержание

• 
  Слайд 1

  § Плоскость1. Общее уравнение плоскости

  ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальнымвектором этой плоскости.

• 
  Слайд 2
  

  ВЫВОДЫ: Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа. 2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

• 
  Слайд 3

  ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

  Если в уравнении Ax+By+Cz+D= 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю –неполным. 1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках.

• 
  Слайд 4
  

  2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C – ненулевые, а D= 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax+By +Cz= 0. Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0). ℓ1: By+Cz=0 (пересечение с плоскостью Oyz) ℓ2: Ax+By=0 (пересечение с плоскостью Oxy) ℓ3: Ax+Сz= 0 (пересечение с плоскостью Oxz)

• 
  Слайд 5
  

  а) плоскость отсекает на осях Oxи Oyотрезки aи bсоответственно и параллельна оси Oz; 3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A,B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскостиодин из следующих трех видов: а) Ax+By+D = 0 б)Ax+Cz+D = 0 в)By+Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде

• 
  Слайд 6
  

  б) плоскость отсекает на осях Oxи Ozотрезки aи cсоответственно и параллельна оси Oy; в) плоскость отсекает на осях Oyи Ozотрезки bи cсоответственно и параллельна оси Ox. Вывод:плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей в уравнении координаты.

• 
  Слайд 7
  

  4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D0, т.е. уравнение плоскости имеет вид:а) Ax+D= 0 или б) By+D= 0 или в) Cz+D= 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) плоскость отсекает на оси Oxотрезок aи параллельна осям Oy и Oz(т.е. параллельна плоскости Oyz);

• 
  Слайд 8
  

  б) плоскость отсекает на Oyотрезок bи параллельна осям Ox и Oz(т.е. параллельна плоскости Oxz); в) плоскость отсекает на Ozотрезок cи параллельна осям Ox и Oy(т.е. параллельна плоскости Oxy). Вывод:плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих в уравнении координат.

• 
  Слайд 9
  

  5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D= 0 и один из коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+By= 0 или б) Ax+Cz= 0 или в) By+Cz= 0. Вывод:Плоскость проходит через начало координат и ось отсутствующей в уравнении координаты.

• 
  Слайд 10
  

  6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид а) Ax= 0 или б) By= 0 или в)Cz= 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) x= 0 – уравнение координатной плоскости Oyz; б) y= 0 – уравнение координатной плоскости Oxz, в) z= 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.

• 
  Слайд 11

  2. Другие формы записи уравнения плоскости

  Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно неколлинеарным векторам Другие формы записи: Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам; Уравнение плоскости, проходящей через три точки;

• 
  Слайд 12
  
• 
  Слайд 13
  

  Уравнение плоскости, проходящей через три точки, нележащие на одной прямой– частный случай уравнения (4) Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.

• 
  Слайд 14

  3. Взаимное расположение плоскостей

  В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть плоскости λ1иλ2заданы общими уравнениями: λ1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 λ2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Тогда:

• 
  Слайд 15
  

  1)Пусть плоскости параллельны: Вывод:плоскости λ1 и λ2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях координаты нормальных векторов пропорциональны, т.е.

• 
  Слайд 16
  

  2) Пусть плоскости пересекаются где знак плюс берется, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

• 
  Слайд 17
  

  Частный случай –плоскости перпендикулярны, т.е. (критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями)

• 
  Слайд 18

  4. Расстояние от точки до плоскости

  ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D= 0 , M0(x0;y0;z0)– точка, не принадлежащая плоскости λ. Найти расстояние от точки M0 до плоскости λ.

• 
  Слайд 19

  § Прямая в пространстве1. Уравнения прямой в пространстве

  Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ. Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

• 
  Слайд 20
  

  Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

• 
  Слайд 21
  

  называют параметрическимиуравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

• 
  Слайд 22
  

  Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

• 
  Слайд 23

  2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

  Пусть прямая ℓзадана общими уравнениями: Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой. а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1). б) Направляющий вектор

• 
  Слайд 24

  3. Взаимное расположение прямых в пространстве

  В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться. Пусть прямые ℓ1и ℓ2заданы каноническими уравнениями: 1)Пусть прямые ℓ1и ℓ2параллельны:

• 
  Слайд 25
  

  2)Пусть прямые ℓ1и ℓ2 пересекаются: Вывод:прямые ℓ1иℓ2 пересекаются они не параллельны и для них выполняется условиекомпланарности векторов (7*) или, в координатной форме, 3)Если для прямых ℓ1и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются.

• 
  Слайд 26

  4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

  Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам: 1) параллельные прямые  расстояние между прямыми (т.е. расстояние от точки до прямой)? 2) пересекающиеся прямые  а) угол между прямыми? б) точка пересечения прямых? 3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми? б) расстояние между прямыми?

• 
  Слайд 27
  

  ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве. ОПР.Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1иℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1. Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным: где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

• 
  Слайд 28
  

  ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

• 
  Слайд 29
  

  ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. ОПР.Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. где Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости λ ,M2(x2;y2;z2) – любая точка на прямой ℓ2 .

• 
  Слайд 30
  

  Тогда d– высота пирамиды (параллелепипеда), опущенная из точки M2. Следовательно:

• 
  Слайд 31
  

  ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений

• 
  Слайд 32

  5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

  Пусть в пространстве заданы плоскостьλ и прямая ℓ . Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

• 
  Слайд 33
  

  а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. б) Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

• 
  Слайд 34
  

  Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости

• 
  Слайд 35
  

  ОПР.Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ. Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.