Презентация на тему "Решение задач линейной алгебры и аналитической геометрии"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Решение задач линейной алгебры и аналитической геометрии

  Лекция 4

• 
  Слайд 2

  Вектор

  Вектор – направленный отрезок АВ={0,1,2} – координаты вектора А – начало вектора, В – конец. - длина вектора =√(XB-XA)2+ (YB-YA)2+ (ZB-ZA)2

• 
  Слайд 3
  

  Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора  и  сонаправлены:

• 
  Слайд 4
  

  Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора a, b, c – коллинеарны. Произведением вектора AB на число k называется вектор, сонаправленный вектору AB, если  k>0, и направленный в противоположную сторону, если  k

• 
  Слайд 5

  Сложение двух векторов

• 
  Слайд 6

  Вычитание двух векторов

• 
  Слайд 7

  Угол между векторами

• 
  Слайд 8

  Скалярное произведение двух векторов

  Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

• 
  Слайд 9

  Свойства скалярного произведения:

  1. коммутативность: (a,b)=(b,a) 2. (а,а)=|а|2 3. (a,b)=0  a | b 4. Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b) 5. (а, λ·b)= λ·(a,b)

• 
  Слайд 10

  Пример 1.

  Найти угол между векторами Пусть в декартовой системе координат а={2,1,0}, b={3,-2,0}, c={-4,-2,0}. Найти угол между векторами а) a и b; б) а и с.

• 
  Слайд 11

  Векторное произведение векторов

    Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что | [a,b] |=Sa,b, где Sa,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то Sa,b=0.) a  | [a,b] |  b. a, b, [a,b] – правая тройка.

• 
  Слайд 12

  Свойства векторного произведения:

  [a,b] = -[b,a] [a,b] = θ, a || b [a1+a2,b] = [a1,b]+[a2,b] λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b] |[a,b]|=|

• 
  Слайд 13

  Пример 2.

  Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, если a=p+2q, b=3p-2q, |p|=1, |q|=1/2, φp,q=p/6. Решение: Пусть Sa,b – искомая площадь. [a,b] = [p+2q,3p-2q] = [p, 3p-2q]+2[q, 3p-2q] = 3[p,p]-2[p,q]+2·3[q,p]-2·2[q,q] = = θ-2[p,q]+6[q,p]-θ = 2[q,p]+ 6[q,p] = 8[q,p]. Sa,b = | [a,b] | = | 8[q,p] | = 8·|q|·|p|· sinφp,q = 8·1· = 2. Ответ: Sa,b = 2.

• 
  Слайд 14

  Смешанное произведение векторов.

  Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и cназывается число , т.ч. =([a,b],c).  =Va,b,c, если a,b,c – правая тройка, или = -Va,b,c, еслиa,b,c – левая тройка. Здесь Va,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, bи c. (Если a, b и c компланарны, то Va,b,c=0.)  В декартовой системе координат, если a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2},с={x3, y3, z3}, =

• 
  Слайд 15

  Примеры

  Пример 3. Проверка компланарности векторов Компланарны ли векторы  a={1,0,1}, b={0,2,1},  c={3,1,0}?     Пример 4. Принадлежность 4 точек одной плоскости Доказать, что точки А (1,2,-5), B(2,-1,-10), C(-1,3,0) и D(-4,-2,1) лежат в одной плоскости   Пример 5. Вычислить объем тетраэдра и его высоту Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3, если А1(1,2,0), А2(-1,2,1), А3(-1,-1,-1), А4(0,1,3).

• 
  Слайд 16

  Каноническое уравнение плоскости в пространстве

  Пусть в декартовой системе координат дан вектор n={A,B,C} и точка М0=(x0,y0,z0). Построим плоскость Π, проходящую через т. М0, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости). М €Π ,  М0М  | n. М0М={x-x0, y-y0, z-z0} | n  A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Каноническое уравнение плоскости в пространстве: Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax0-By0-Cz0.

• 
  Слайд 17

  Примеры

  Пример 6. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n={3,1,1} и проходящей через точку М(2,-1,1). Пример 7. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).

• 
  Слайд 18

  Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

  Пусть в декартовой системе координат дан вектор a={p,q,r} и точка М0=(x0,y0,z0). Построим прямую l, проходящую через т. М0, параллельную вектору a (этот вектор называют направляющим вектором прямой). М€ l ,  М0М || a. М0М={x-x0, y-y0, z-z0} || a , т.ч. М0М=t·a => 

• 
  Слайд 19

  Параметрические уравнения прямой в пространстве

• 
  Слайд 20

  Примеры

  Пример 8.  Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной прямой а, проходящей через точку М(1,2,3). а= Решение: Необходимая для решения точка задана по условию, а направляющий вектор для искомой прямой возьмём тот же, что для заданной, т.к. они параллельны: n={2,7,3}. Осталось воспользоваться формулой. Ответ:

• 
  Слайд 21
  

  Пример 9.  Написать канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей: 2x – y + 3z + 3 = 0 и 3x + y + z – 6 = 0. Пример 10. Найти точку А пересечения прямой m и плоскости2x–y+3z+3 = 0. m=

• 
  Слайд 22

  Расстояние от точки до плоскости в пространстве

  Пусть в декартовых координатах плоскость Π задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а точка М1=(x1,y1,z1). Расстояние от точки М1 до плоскости Π вычисляется по формуле:

• 
  Слайд 23

  Пример 11

  Найти расстояние от точки (1,3,2) до плоскости 3x + y + z – 6 = 0

• 
  Слайд 24

  Координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении

  Пусть в декартовой системе координат М1=(x1,y1,z1), М2=(x2,y2,z2) . Координаты т. М, т.ч. М1М=λ∙ММ2, находятся по следующим формулам: