Презентация на тему "Статистические гипотезы - проверка"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

  Лекция 9

• 
  Слайд 2
  

  Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения важнейшим разделом математической статистики. Определение. Статистической гипотезой называется предположение о виде распределения или о параметрах известных распределений. Постановка задачи проверки статистической гипотезы Понятие статистической гипотезы

• 
  Слайд 3
  

  Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (по результатам наблюдений). Примеры. Предположение о том, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения. Предположение о том, что дисперсии двух нормальных распределений и равны:

• 
  Слайд 4
  

  3) Предположение о том, что математические ожидания двухнормальных распределений и равны:

  Проверить статистическую гипотезу – это значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. Определение. Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочными данными, называют нулевой гипотезой и обозначают H0. Определение. Альтернативной или конкурирующей гипотезой называется гипотеза, которая противоречит основной гипотезе и обозначается H1.

• 
  Слайд 5
  

  Пример 1. При исследовании местности было произведено несколько проб древесины и вычислено, что уровень заболеваемости деревьев на 1 га равно . Через некоторое время произведено повторное исследование, и уровень заболеваемости деревьев стал , причем . Встает вопрос, расхождение случайно и связано с недостаточным числом измерений или закономерно и связано с изменением состояния леса.

• 
  Слайд 6
  

  Математическая постановка задачи. Х − состояние всех деревьев первоначально с математическим ожиданием числа заболевших деревьев − , Y – состояние всех деревьев через некоторое время с математическим ожиданием числа заболевших деревьев − .

• 
  Слайд 7
  

  Пример 2. Пусть в примере 1 за время между измерениями проводилась лечебная обработка деревьев и измерения показали, что . Встает вопрос, уменьшение показателя случайно и связано с недостаточным числом измерений или закономерно и связано с улучшением состояния леса вследствие проведенного лечения. Математическая постановка задачи.

• 
  Слайд 8
  

  Определение. Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет закон распределения случайной величины. В противном случае, гипотеза называется сложной. Примеры простой гипотезы:

• 
  Слайд 9

  Примеры сложной гипотезы:

• 
  Слайд 10
  

  Пример.Радиостанция ведёт автоматическую передачу цифрового текста в течение 15 мкс. Работа происходит при наличии хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов которой в одну секунду составляет 104. Для срыва передачи достаточно попадания 13 импульсов помехи в период радиопередачи. Число импульсов хаотической помехи во время радиопередачи текста – СВ Х. Классифицируем следующие гипотезы: Н0(1): СВ Х распределена по закону Пуассона ; Н0(2): СВ Х распределена по закону Пуассона с параметром  = 0,15; Н0(3): СВ Х распределена по закону Пуассона, причём 0,14    0,16; Н0(4): Р( 13  Х) = 0,002 ; Н0(5): вероятность срыва передачи зависит от сбоя в работе автономного источника электропитания. Н0(1), Н0(2), Н0(3), Н0(4) – статистические гипотезы: Н0(1) – простая, непараметрическая, Н0(2) - простая, параметрическая, Н0(3)- сложная, параметрическая, Н0(4)- сложная, непараметрическая, Н0(5)- не является статистической гипотезой.

• 
  Слайд 11
  

  Ошибки принятия гипотез Принятие гипотезы в результате проверки не означает утверждения, что гипотеза верна. Это лишь означает, что результаты наблюдений не дают оснований её отвергнуть. Если основная гипотеза отвергается, то принимается альтернативная гипотеза. В процессе принятия гипотезы можно совершить ошибки 1 и 2 рода.

• 
  Слайд 12
  

  Ошибка 1 рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Ошибка 2 рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность допустить ошибку 1 рода, т.е. отвергнуть , когда она верна, называют уровнем значимости: Вероятность совершить ошибку 2 рода обозначается , причем .

• 
  Слайд 13
  

  Вероятность не допустить ошибку 2 рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она неверна, называется мощностью критерия:

• 
  Слайд 14
  
• 
  Слайд 15
  

  Ошибки могут иметь разные последствия. Вероятность задается заранее, при этом обычно: 0,1; 0,05; 0,001; 0,005. Чем серьезнее последствия ошибки первого рода, тем меньше должен быть уровень значимости. Статистический критерий и критическая область Статистический критерий – это случайная величина, построенная по элементам выборки, точное или приближенное распределение которой известно, и по значению которого принимается решение о принятии или отклонении основной гипотезы .

• 
  Слайд 16
  

  Пусть К – статистический критерий гипотезы . Замечание. В дальнейшем, в зависимости от вида распределения критерия будут использоваться обозначения: - для нормального распределении - для распределения Фишера, - для распределения Стьюдента. Область принятия гипотезы – это множество значений критерия, при попадании в которое Kв основную гипотезу следует принять. Критические точки Kкр – точки, отделяющие область принятия гипотезы от критической области.    

• 
  Слайд 17
  

  Если принять (нет оснований отклонить , если отклонить и принять . Критическая область бывает : - односторонней (правосторонней или левосторонней) - двусторонней.

• 
  Слайд 18
  

  Пусть f(x) – известная плотность распределения случайной величины K при условии справедливости гипотезы H0. Правосторонняя критическая область: Площадь фигуры, выделенной черным цветом, равна уровню значимости .

• 
  Слайд 19
  

  Левосторонняя критическая область:

• 
  Слайд 20
  

  Двусторонняя критическая область: Вид области зависит от вида альтернативной гипотезы . Критическая область бывает односторонней, если в гипотезе используются знак неравенств < или >. и двусторонней, если используется знак .

• 
  Слайд 21
  

  Проверка гипотезы о равенстве дисперсий На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений, технологий. Очевидно, предпочтительнее взять тот прибор, инструмент и т.п., который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. Проведем измерения на двух приборах. Пусть все возможные измерения первым прибором − Х и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка .

• 
  Слайд 22
  

  Пусть все возможные измерения первым прибором − Y и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка, причем . Требуется по выборочным средним и заданном проверить значимость этого различия. Краткое условие:Х: , Y: причем . Сформулируем гипотезу:

• 
  Слайд 23
  

  Зададим или в зависимости от конкретной задачи. Вычислим . где - большая дисперсия, а - меньшая дисперсия. Соответствующая случайная величина F − статистический критерий данной задачи − имеет распределение Фишера – Снедекора. Если , то выборочное значение критерия . Критическая область - правосторонняя.

• 
  Слайд 24
  

  Для определения найдем степени свободы: где - объем выборки с большей дисперсией - объем выборки с меньшей дисперсией . Используется таблица 7

• 
  Слайд 25
  
• 
  Слайд 26
  
• 
  Слайд 27
  
• 
  Слайд 28
  
• 
  Слайд 29