Презентация на тему "Метод координат в пространстве"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Метод координат в пространстве

• 
  Слайд 2

  Содержание темы

  Прямоугольная система координат в пространстве Координаты вектора Связь между координатами вектора и координатами точек Простейшие задачи в координатах Угол между векторами Скалярное произведение векторов Вычисление углов между прямыми и плоскостями Движения. Центральная симметрия. Осевая симметрия.

• 
  Слайд 3

  Прямоугольная система координат в пространстве

  Системы координат Числовая прямая (на прямой) х А (х0) х-абсцисса, единица измерения –длина, точка с одной координатой

• 
  Слайд 4

  2. Декартова система координат (на плоскости)

  0 х Y A(x0;y0) X- абсцисса, у- ордината, единицы измерения- длина и ширина. Точка с двумя координатами A(x0;y0)

• 
  Слайд 5

  3. Прямоугольная система координат (в пространстве)

  х у z 0 X-абсцисса, у-ордината, z- аппликата, единицы измерения: длина, ширина и высота. Точка с тремя координатами А (х0;y0;z0) А (х0;y0;z0)

• 
  Слайд 6

  Построение точек в прямоугольной системе координат

  А(3;6;5) На оси Ох- отметить 3 единичных отрезка и провести прямую через эту точку, причем параллельную оси Оу На оси Оу отметить два единичных отрезка и провести прямую через эту точку, причем параллельную оси Ох Через точку пересечения двух прямых провести прямую параллельную оси Оz, и отметить на ней 5 единичных отрезков вверх. х у z 0 3 6 А

• 
  Слайд 7
  

  А(6;5;6), B(4;0;6), C(3;-1;0), D(0;0;7), E(0;0;3), F(2;0;0), G(2;3;-4), Q(-4;0;3), W(0;-1;0), R(1;2;3), T(0;5;-7), Y(2;-3;5), U(8;8;-6), O(3;-6;2), K(0;0;10), N(-5;-3;4) M(-6;2;6), S(4;0;6) х у z 0 3

• 
  Слайд 8
  

  х у z 0

• 
  Слайд 9
  
• 
  Слайд 10
  

  Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1. i – единичный вектор оси абсцисс, j– единичный вектор оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат. x z y O

• 
  Слайд 11
  

  Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: Нулевой вектор можно представить в виде: Координаты равных векторов соответственно равны, т.е., если ā{ x1; y1; z1 } = b { x2; y2; z2 }, то x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.

• 
  Слайд 12
  

  Сумма векторов: a + b = { x1+ x2; y1+ y2; z1+ z2 }. Разность векторов:a – b = { x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2 }. Произведение вектора на число: αā = { αx; αy; αz }.

• 
  Слайд 13

  Решение задач

• 
  Слайд 14
  
• 
  Слайд 15
  
• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17
  
• 
  Слайд 18
  

  Векторы называются коллинеарными, если они параллельны. Если векторы а { x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 }, то:

• 
  Слайд 19
  
• 
  Слайд 20

  Самостоятельная работа

  1 вариант №1. Даны векторы а {2; -4; 3} и b {-3; 1/2; 1}. Найдите координаты вектора с = a + b. №2. Даны векторы а {1; -2; 0}, b {3; -6; 0}, c {0; -3; 4}. Найдите координаты вектора p = 2a – 1/3b – c. №3. Найдите значения m и n, при которых векторы а {6; n; 1} и b {m; 16; 2} коллинеарны. 2 вариант №1. Даны векторы а {1; -3; -1} и b {-1; 2; 0}. Найдите координаты вектора с = a – b. №2. Даны векторы а {2; 4; -6}, b {-3; 1; 0}, c {3; 0; -1}. Найдите координаты вектора p = -1/2a +2b – c. №3. Найдите значения m и n, при которых векторы а {-4; m; 2} и b {2; -6; n} коллинеарны.

• 
  Слайд 21

  Связь между координатами вектора и координатами точек

  Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало — с началом координат, называется радиус-вектором данной точки. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. А (х1;y1;x1) B (x2;y2;z2) AB {x2-x1; y2-y1; z2-z1}

• 
  Слайд 22
  

  Даны векторы ОA{3; 2; 1}, 0B{1; -3; 5} и ОC{-1/3, 0,75;-2,5}Запишите координаты точек А, В а С, если точка О — начало координат.

• 
  Слайд 23
  

  Найдите координаты вектора АВ, если: а) A(3; — 1; 2), В (2; — 1; 4); б) A (-2; 6; -2), В (3; — 1; 0); в) A(1; 5/6;1/2),B(1/2;1/3;1/4)

• 
  Слайд 24

  Простейшие задачи в координатах

  а) Координаты середины отрезка. В системе координат Oxyz отметим точку А с координатами (х1; у1; Z1) и точку В скоординатами (х2 y2; z2). Выразим координаты (х; у; z) середины С отрезка АВ через координаты его концов. Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

• 
  Слайд 25
  

  б) Вычисление длины вектора по его координатам. Длина вектора а (х; у; z) вычисляется по формуле в) Расстояние между двумя точками. Рассмотрим две произвольные точки: точку М1, с координатами (х1; у1;z1) Иточку M2 с координатами (х2; y2; z2). Выразим расстояние d между точками М1 и М2 через их координаты.

• 
  Слайд 26

  Решение задач

• 
  Слайд 27
  
• 
  Слайд 28
  
• 
  Слайд 29
  
• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31
  
• 
  Слайд 32
  
• 
  Слайд 33

  Угол между векторами

       Угол между векторами и равен .  a b a b  =

• 
  Слайд 34
  

  a d b 300 a b = c f 300 a c = b c = d f = d c = 1200 900 1800 00 Найдите угол между векторами

• 
  Слайд 35

  Скалярное произведение векторов

  Опред: Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

• 
  Слайд 36

  Примеры:

  , , , , , , , , , ,

• 
  Слайд 37
  

  a b a b = a b cos 900 = 0 a b =0 a b   Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b =900 Частный случай №1 = 0

• 
  Слайд 38
  

  a b Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. a b = a b cos  > 0 > 0 a b >0  a b

• 
  Слайд 39
  

  a b Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой. a b = a b cos  900 a b > 900 Частный случай №3

• 
  Слайд 40
  

  a b = a b = a b cos 00 a b 1 a b =00 a b = a b cos1800 a b -1 a b =1800 = – a b Частный случай №4

• 
  Слайд 41
  

  a a = a a cos a 00 1 a a =00 a a = = a Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается a a a a Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a = a Частный случай №5 2 2 2 2

• 
  Слайд 42
  

  Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0 B C N A D M Задача

• 
  Слайд 43

  Формула нахождения скалярного произведения через координаты векторов

  a b = x1x2 + y1y2+ z1z2 {x1; y1 ; z1} {x2; y2 ; z2} b a

• 
  Слайд 44

  Примеры:

• 
  Слайд 45

  Угол между прямой и плоскостью

• 
  Слайд 46

  Примеры:

• 
  Слайд 47
  

  Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

• 
  Слайд 48

  Центральная симметрия.

  Симметрия относительно точки или центральная симметрия - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам. А О В

• 
  Слайд 49

  Осевая симметрия.

  Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам. a А В

• 
  Слайд 50

  Зеркальная симметрия

  Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе. А В α

• 
  Слайд 51

  Симметрия в жизни

  Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7