Презентация на тему "Непрерывная случайная величина (НСВ)"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Непрерывная случайная величина (НСВ)

  Определение. Непрерывной СВ называется та-кая СВ, которая в результате испытаний может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Так как любой интервал содержит бесконечное множество точек, то НСВ принимает бесконеч- ное несчетное множество значений. Поэтому перечислить все значения НСВ невозможно. Способы задания НСВ НСВ задается двумя способами:

• 
  Слайд 2
  

  1. С помощью интегральной функции распре-деления (или функции распределения) F(x). 2. С помощью дифференциальной функции рас-пределения (или плотности распределения) f(x). Определение. Функцией распределения СВ Х называется такая функция F(x), которая для лю- бого числа х определяет вероятность того, что СВ Х примет значения Х

• 
  Слайд 3
  

  Например, при х = a F(a) = P(Х

• 
  Слайд 4
  

  P(a ≤ X x1F(x2) ≥ F(x1)       5. Если СВ Х задана на всей числовой прямой, то lim F(x) = 0, x -∞ lim F(x) =1. x ∞      6. F(x) – непрерывно дифференцируемая функция. Пример 1. Функция распределения СВ Х: 0 при х ≤ 2, F(x) = a(x – 2)2 при 2

• 
  Слайд 5
  

  Найти: a) значение параметра a; b) P(2 ≤ X ≤ 3). Решение. По определению непрерывной функции: lim F(x) = x 2-0 lim F(x) = x 2+0 F(2) = 0 lim F(x) x 4-0 = lim F(x) = x 4+0 F(4) = 1 F(4) = a(4 – 2)2= 1, отсюда a = P(2 ≤ X ≤ 3) = F(3) – F(2) = = (3 – 2)2 - *0 = .

• 
  Слайд 6
  

  0 x F(x) 2 4 1 Замечание. Графикомфункции распределения ДСВ Хявляется разрывная ступенчатая (кусочно- постоянная) линия. При каждом новом значении СВ Х функция F(x) испытывает скачок на величину, равную вероятности piэтого значения xi. Сумма величин всехскачков функции F(x) равна 1.

• 
  Слайд 7
  

  Дифференциальная функция распределения НСВ(плотность распределения вероятностей) f(x) Пусть НСВ Х принимает значения из элемен-тарного отрезка x, x +∆x , а функция ее рас-пределения F(x) непрерывно дифференциру-ема. Тогда P(x ≤ X ≤ x +∆x)= F(x +∆x) – F(x) Поделим на ∆x:

• 
  Слайд 8
  

  и перейдем к пределу при ∆x 0. Определение. Предел отношения вероятности попадания НСВ Х в элементарный промежуток x, x +∆x к длине этого промежутка ∆x при ∆x 0 называется плотностьюраспределения вероятностей НСВ Х и обозначается f(x): f(x) = ∆x 0 ∆x 0 =F′(x) Отсюда следует, что F′(x) = f(x).

• 
  Слайд 9

  В свою очередь, F(x) – первообразная к f(x).

  Геометрически P(x ≤ X ≤ x +∆x) есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой f(x), отрезком x, x +∆x , вертикальными прямы-ми, проходящими через концы этого отрезка, и осью Ох. Свойства плотности распределения f(x) 1. f(x) ≥ 0, т.к. F(x) – неубывающая, x   -∞ то F′(x) ≥ 0. 2. F(x) =∫f(x)dx. 3. P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx. b a 4.∫ f(x)dx = 1. ∞ -∞

• 
  Слайд 10
  

  Числовые характеристики НСВ К ним относятся M(X), D(X), σ(X). Математическое ожидание: M(X) = ∫ xf(x)dx. b a Дисперсия: D(X) = ∫ x2f(x)dx – (M(X))2. b   a Среднее квадратическое отклонение: σ(X) =

• 
  Слайд 11
  

  Пример 2. Плотность распределения вероятностей СВ Х: f(x) = 0 при х ≤ 0, a(4x – x) при 0 2. Определить: 1) коэффициент а; 2) функцию распределения СВ Х; 3) матем. ожидание и дисперсию; 4) вероятность попадания СВ Х в интервал ( 0; 1). Решение. 1) По свойству плотности распределения: Найдем: 3

• 
  Слайд 12
  

  = + 0 = а(8 – 4) = 1. 0 2 Отсюда 4а = 1 или а = = 0,25. 2) Функция распределения: F(x) = При х ≤ 0 F(x) = . .

• 
  Слайд 13
  

  при 0 2 F(x) = = = 0 2 = 0,25·(2·22 – 24:4) = 0,25·4 = 1. Тогда интегральная функция распределения:

• 
  Слайд 14
  

  F(x) = 0 при х ≤ 0, при 0 2. 3) Найдем М(Х) и D(X): М(Х) = = = 0 + 0 2 + 0 = = .

• 
  Слайд 15
  

  D(X) = = = 0 1 – = . σ(X) = 0,4422. 4) Вероятность попадания СВ Х в интервал (0;1):    

• 
  Слайд 16
  

    0 1   Пример 3. Стрелок должен произвести 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Определить интегральную функцию распределения дискретной СВ Х – числа попаданий и построить ее график. Дано: n = 3, p = 0,7, q = 0,3 F(x) = ? P(X = 0) = P3,0 = C · 3 0 0,7 0 ·0,3 3 = 0,027; P(X = 1) = P3,1= C · 3 1 0,7 1 ·0,3 2 = 0,189; P(X = 2) = P3,2=    

• 
  Слайд 17
  

  Σ Pi i=0 3 =0,027 + 0,189 + 0,441 +0,343 = 1. Найдем интегральную функцию распределения F(x) ДСВ Х. При x≤ 0 F(x) = P(X

• 
  Слайд 18
  

  при x > 3 F(x)=P(X= 0)+P(X=1)+P(X= 2) + P(X=3)= = 0,657 + 0,343 = 1. Таким образом, F(x)= 0при x≤ 0; 0,027 при 0 3. Построим график интегральной функции распределения F(x). Графиком является разрывная ступенчатая (кусочно-постоянная) линия.

• 
  Слайд 19
  

  x F(x) 1 2 3 0,216 0,657 1 0