Содержание
-
Алгебра и геометрия Глава 1. Матрицы. Действия над матрицами Одияко Наталья Николаевна, доцент кафедры математики и моделирования Ауд.1602, тел. 240-40-65 Natalya.Odiyako@vvsu.ru
-
Содержание лекции
-
Ключевые понятия
-
Основные понятия и определения
Матрицей называется таблица, состоящая из n строк и mстолбцов. Таблица имеет вид:
-
Если n=m, то матрица называется квадратной. Если n≠m, то матрица называется прямоугольной. n×mназывается размерностьюматрицы
-
Обозначение матрицы
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, A1, B1) или А={аij}n×m. Матрица, у которой все элементы внутри равны 0, называется нулевой матрицей и обозначается «O».
-
Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ матрицы.
-
Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные нули, называется единичной матрицей, и обозначается E.
-
Действия над матрицами
Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
-
Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по правилу: А={аij}n×m, B={bij}n×m A+B=C={cij}n×m. cij=aij+bij- складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.
-
-
Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число: А={аij}n×m;α-число α∙А={аij}n×m
-
Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица C={cij}n×m, где cij=aij-bij.
-
Введём операцию умножения матрицы таким образом, чтобы выполнялось условие: Аn×p∙Вp×m=Сn×m.
-
-
Свойства операций над матрицами
А+В=В+А А∙В≠В∙А α∙(А+В)= αА+ αВ А(В+С)=А∙В+А∙С (строго!)
-
5) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так называемую транспонированную матрицу. Если А – матрица, то АТ – транспонированная матрица, тогда (АТ)Т=А; (А∙В)Т=ВТ∙АТ
-
6) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА; |A|; ||A||; detA (детерминант), являющиеся числом. det(A∙B)=detA∙detB Замечание! Все операции определены.
-
Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1∙А=А∙А-1=Е. Вывод 1: обратная матрица существует для квадратной матрицы.
-
Вывод 2: А-1 имеет ту же размерность, что и данная. Вывод 3:det(A∙А-1)=detE detA∙detА-1=1 detА-1=
-
Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется невырожденной. В противном случае называется вырожденной.
-
Теорема о единственности обратной матрицы. Если матрица имеет обратную, то единственную.
-
Теорема о существовании обратной матрицы. Чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была квадратной и невырожденной. Необходимость доказательства следует из выводов. Доказательство достаточности представляет собой процесс представления матрицы, которая, по определению, и будет обратной.
-
Алгоритм построения обратной матрицы
1) Убеждаемся, что матрица квадратная (для прямоугольных матриц нет обратных). 2) Вычисляем определитель квадратной матрицы. Если определитель равен 0, то делаем вывод, что у матрицы нет обратной.
-
3) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы. 4) Из алгебраических дополнений составляем так называемую присоединённую матрицу (Ã={Aij}n×n). 5) Транспонируем присоединённую матрицу.
-
6) Обратную матрицу получаем по формулеA-1=∙ÃT или =
-
Линейная зависимость и линейная независимость столбцов и строк
Пусть α1, α2 и αm – числа, тогда выражение α1∙+α2∙+…+αm∙называется линейной комбинацией столбцов.
-
Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0. Столбцы называются линейно-зависимыми, если линейная комбинация равна 0 не при всех α=0.
-
Теорема. Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных. Теорема. Столбцы матрицы можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е.
-
Ранг матрицы
Дана матрица размером n×m. Минором порядка r (Mr) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых r строк и любых r столбцов матрицы. r≤min{n;m}
-
-
M4 и более высоких порядков не существует для данной матрицы.
-
Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и миноры более высоких порядков равны 0 или не существуют. Порядок базисного минора называется рангом матрицы (число r).
-
Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно легко найти ранг и базисный минор.
-
Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых столбцов матрицы. Максимальное число линейно-независимых строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов.
-
Теорема. Линейные преобразования столбцов или строк матрицы не меняют ранг матрицы. К линейным преобразованиям строк относятся следующие преобразования:
-
перестановка строк местами; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число; умножение строки на некоторое число; те же действия со столбцами.
-
Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения элементарных преобразований, которые позволяют выделить строки и столбцы, являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т.е. выделить базисный минор.
-
Матрицы, получающиеся друг из друга с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными (имеют одинаковый ранг). III = 2∙I + II в А все М3=0
-
Применим к матрице элементарные преобразования. Подчеркнём элементы, имеющие одинаковые индексы. Ниже или выше этих элементов будем получать 0, если понадобится, устраним линейно-зависимые строки.
-
~ ~
-
Вопросы и задания для самопроверки
-
Рекомендуемая литература
-
Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой частипрезентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.