Презентация на тему "Матрицы и определители"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Матрицы и определители

• 
  Слайд 2
  

  МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

• 
  Слайд 3
  

  Обозначение: где i=1,2…m j=1,2…n - матрица размерности m x n - элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца,

• 
  Слайд 4
  

  матрица размерности m x n

• 
  Слайд 5
  

  Две матрицы называются равными, если у них одинаковая размерность и совпадают строки и столбцы. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то такая матрица называется квадратной.

• 
  Слайд 6
  

  Пример: - квадратная матрица размерности 3х3

• 
  Слайд 7
  

  Элементы матрицы aij , у которых номер столбца совпадает с номером строки, называются диагональными. Если в квадратной матрице все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, то она называется единичной.

• 
  Слайд 8
  

  единичная матрица

• 
  Слайд 9
  

  Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0. нулевая матрица

• 
  Слайд 10
  

  Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой. матрица-строка

• 
  Слайд 11
  

  Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом. матрица-столбец

• 
  Слайд 12
  

  Распределение ресурсов по отраслям экономики: С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости. Например:

• 
  Слайд 13
  

  Эту зависимость можно представить в виде матрицы: Где элемент aijпоказывает сколько i – го ресурса потребляет j – отрасль. Например, a32показывает, сколько воды потребляет сельское хозяйство.

• 
  Слайд 14
  

  ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 1. Умножение матрицы на число Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Полученные произведения образуют итоговую матрицу.

• 
  Слайд 15
  

  Пусть дана матрица Умножаем ее на число λ: Где каждый элемент матрицы В: Где:

• 
  Слайд 16
  

  Например: Умножая матрицу на число 2, получим:

• 
  Слайд 17
  

  2. Сложение матриц Складываются матрицы одинаковой размерности. Получается матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.

• 
  Слайд 18
  

  Пусть даны матрицы Складываем их: Где каждый элемент матрицы С: Аналогично проводится вычитание матриц.

• 
  Слайд 19
  

  Пример. Найти сумму и разность матриц:

• 
  Слайд 20
  

  Решение:

• 
  Слайд 21
  

  3. Умножение матриц Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй.

• 
  Слайд 22
  

  Пусть даны матрицы Умножаем их: Где каждый элемент матрицы С:

• 
  Слайд 23
  

  Пример. Найти произведение матриц:

• 
  Слайд 24
  

  Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует: Решение:

• 
  Слайд 25
  

  Теперь перемножим матрицы в обратном порядке: Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

• 
  Слайд 26
  

  Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами: А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С) 1 2

• 
  Слайд 27
  

  λ(А+В)= λА+λВ А(В+С)=АВ+АС А(ВС)=(АВ)С 3 4 5

• 
  Слайд 28
  

  4. Транспонирование матриц Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки и столбцы.

• 
  Слайд 29
  

  (АТ)Т=А (А+В)Т=АТ+ВТ свойства операции траспонирования: 1 2

• 
  Слайд 30
  

  (λА)Т= λАТ (АВ)Т=ВТАТ 3 4

• 
  Слайд 31
  

  Пример. Транспонировать матрицу:

• 
  Слайд 32
  

  Решение: