Презентация на тему "СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ"

Содержание

• 
  Слайд 1

  СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

  1

• 
  Слайд 2
  

  Положим, что две плоские волны, одинаковые по своим характеристикам, идут навстречу друг другу. Нас интересует воз­никающее колебательное движение среды, в которой распростра­няются волны. Различие в направлении распределения учитывается различием в знаках координаты в уравнении волны. Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 2

• 
  Слайд 3
  

  Следовательно, результирующая картина смещения должна переда­ваться выражением Результат вычисления весьма интересен. Сумма двух бегущих волн не дала волнового движения.   Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 3

• 
  Слайд 4
  

  Полученная формула указываетна наличие колебаний с амплитудой , разной в разныхместах пространства. Своеобразное колебательное состояние среды, возникающее при движении в противоположные стороны двух оди­наковых бегущих волн, носит название стоячей волны.Еще раз подчеркнем, что стоячая волна не есть волна.   Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 4

• 
  Слайд 5
  

  Бегущая волна пере­носит энергию, в стоячей волне никакой передачи энергии от точки к точке нет; бегущая волна может двигаться вправо или влево, у стоячей волны нет направления распространения. Это название характеризует колебательное состояние среды. В чем же особенности этого колебательного состояния? Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 5

• 
  Слайд 6
  

  Прежде всего, мы видим, что колеблются не все точки среды. В местах пространства, удовлетворяющих условию ,ампли­туда колебания равна нулю. Соответствующие места носят название узловстоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами вдоль оси х,по которой были пущены бегущие волны, равно по­ловине длины волны.   Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 6

• 
  Слайд 7
  

  Между двумя узлами лежат точки, которые колеблются с наибольшей амплитудой, равной 2А. Эти точки назы­ваются пучностямистоячей волны. На следующем слайде представлено колебательное состояние, соответствую­щее стоячей волне. Мы видим, что название вполне оправдано. В каждое мгновение видна волна. При этом волна стоит на месте. Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 7

• 
  Слайд 8
  

  ‹#›

• 
  Слайд 9
  

  Разумеется, картина стоячей волны не имеет ничего общего с бегущей волной. Там волна движется, максимумы и минимумы волны в каждое следующее мгновение переходят в новые места. Мы сказали, что в стоячей волне передачи энергии нет. Как описать тогда в терминах энер­гии процессы, происходящие в этом своеобразном колебательном движении? Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 9

• 
  Слайд 10
  

  Очевидно, что энер­гия стоячей волны (какой-либо области, в которой она сущест­вует) есть величина посто­янная. В тот момент, когда все точки проходят положение равновесия, вся энергия точек, захваченных колебанием, является кинетической. Напротив, в положении мак­симального отклонения точек от положения равновесия энергия всех точек тела является потенциальной. Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 10

• 
  Слайд 11
  

  В ограниченном теле возникает сложное ко­лебательное состояние, являющееся результатом наложения на исходную волну всех других волн, которые отразились от сте­нок и вернулись в среду. Ряд типичных случаев будет сейчас рассмотрен. Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 11

• 
  Слайд 12
  

  Ударом или иным способом в каждом твердом стержне можно возбудить продольную упругую волну, распространяющуюся вдоль его длины. От противоположного конца стержня эта волна отра­зится, и, таким образом, весь стержень придет в колебательное состояние, изображаемое стоячей волной. Это колебательное состо­яние будет свободным, так как оно возникнет благодаря кратковре­менному импульсу и будет далее продолжаться без действия внешних сил. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 12

• 
  Слайд 13
  

  Ряд сведений о характере этих свободных колебаний мы полу­чим, если положим известной длину стержня и укажем способ его закрепления. Длина стержня и способ его закрепления дают нам так называемые граничные условия. Они сводятся к следующему: в закрепленном месте стержня существует узел стоячей волны, на открытом конце стержня образуется пучность стоячей волны. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 13

• 
  Слайд 14
  

  Рассмотрим несколько способов возбуждения продольных сво­бодных колебаний в стержне с длиной L. Стержень, закрепленный в обоих концах. В этом случае на концах стержня должны образоваться узлы волны смещений. Так как расстояние между узлами равно половине длины волны, то возможные длины волн связаны с длиной стержня условием , т. е. ,где n-любое целое число.   Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 14

• 
  Слайд 15
  

  Стержень, закрепленный в обоих концах. Используя для скорости упругой волны выражение и вспоминая связь частоты с длиной волны, получим выражение для собственных частот свободных продольных колебаний стержня   Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 15

• 
  Слайд 16
  

  Стержень, закрепленный в обоих концах. Прежде всего необходимо подчеркнуть принципиально новый для нас результат. Сплошное тело имеет не одну, а множество соб­ственных (характеристических) частот колебания. Соответственнос этим разнообразны возможные свободные колебания стержня. Стержень может также совершать негармонические колебания с любым спектром, составленным из частот nn. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 16

• 
  Слайд 17
  

  Стержень, закрепленный в обоих концах. Частота n1является основной частотой колебания стержня. Ей соответствует колебательное движение с условием L=lI2. Это зна­чит, что при основном колебании центр стержня лежит в пучности стоячей волны, а узлов между концами стержня нет. Колебанию во втором обертоне (вторая гармоника) соответствует условиеL=l.Теперь в центре стержня имеется узел. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 17

• 
  Слайд 18
  

  Стержень, закрепленный в обоих концах. Если возбуждена третья гар­моника, то между концами стержня будут лежать два узла, и т. д. Пример. Для железного стержня (r=7700 кг/м3, E=20,6·1010Н/м2) дли­ной 7 м основная частота n1=365Гц. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 18

• 
  Слайд 19
  

  Стержень, свободный с обоих концов. Если стержень подвесить на нитях, а затем возбудить в нем колебания, то на обоих его концах возникнет пучность стоячей волны. Так же как и в предыдущем случае, между дли­ной стержня и длинами волн возникает связь: . Следова­тельно, формула собственных частот будет той же самой. Отличие от предыдущего случая заключается в распределении узлов и пучностей.   Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 19

• 
  Слайд 20
  

  Стержень, свободный с обоих концов. В основном колебании центр стержня покоится (узел).Если возбуждена вторая гармоника, то в центре стержня будет пучность, далее через четверть длины волны — узлы и на краях — пучности. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 20

• 
  Слайд 21
  

  Стержень, закрепленный в одном конце. В этом случае на одном конце должен быть узел, а на другом — пучность. При колебании с основной частотой стержень имеет форму, соответствующую од­ной четверти периода синусоиды. Так как расстояние между узлом и пучностью равно lI4, то связь между длинами волн и длиной стерж­ня дается условием   Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 21

• 
  Слайд 22
  

  Стержень, закрепленный в одном конце. Здесь n = 1, 2, 3, … Собственные частоты колебаний такого стержня выразятся формулой Если в первых двух случаях частоты относились друг к другу, как целые числа, то теперь отношение частот есть нечет­ное число.   Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 22

• 
  Слайд 23
  

  Стержень, закрепленный в середине, будет в этом месте иметь узел, а на концах - пучности. Задача ничем не отличается от рас­смотренной. Как было выяснено ранее, при отражении от границы, отделяющей среду от среды с большим сопротивлением, происходит отражение волны смещения с потерей полуволны. Если стержень закреплен, то волна вовсе не проникает во вторую среду. В этом случае можно говорить о бесконечно большом сопротивлении второй среды. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 23

• 
  Слайд 24
  

  Коэффициент отражения становится равным единице и отражение происходит с потерей полуволны. Нетрудно видеть, что это соответствует наличию узла на границе двух сред. Отражение волны от незакрепленного конца стержня соответствует отражению от среды с нулевым сопро­тивлением. Равенство коэффициента отражения единице и отсут­ствие потери полуволны приводят к необходимости существования пучности на такой границе. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 24

• 
  Слайд 25
  

  Продольные собственные колебания могут быть также возбуж­дены в столбах жидкости и газа. Поперечные колебания легко возбудить в зажатой и натянутой струне. Распределение узлов и пучностей будет таким же, как и для закрепленного с обоих концов стержня. Набор частот выразится формулой, аналогичной приведенной для стержня, с тем лишь различием, что в выражении скорости попереч­ной волны в струне надо заменить Е на натяжение струны. Собственные колебания стержней СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 25

• 
  Слайд 26
  

  В стержнях, струнах, воздушных столбах поверхности равной фазы представляют собой параллельные плоскости. Колебательное состояние можно представить себе как результат наложения пло­ских волн, распространяющихся вдоль одной линии. Однако возможны и более сложные случаи, а именно такие, когда колеба­тельным движением захвачена двумерная область или тело, все три размера которого имеют одинаковый по­рядок величины. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 26

• 
  Слайд 27
  

  С двумерными задачами мы сталкиваемся, рассматривая колеба­ния упругих и жестких диафрагм. Колебания разного типа возник­нут, если в одном случае закрепить пластинку по краям, а в дру­гом - укрепить ее в одной точке или не закреплять вовсе. Кроме колебаний жестких пластинок наблюдают колебания натя­нутых нежестких пленок - резиновых, мыльных и пр. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 27

• 
  Слайд 28
  

  Общие закономерности свободных колебаний в этом случае в принципе не отличаются от рассмотренных. Ввиду двумерности за­дачи положение узлов и пучностей должно характеризоваться теперь кривыми линиями. Например, круглая закрепленная по краям пластинка совершает основное колебание, имея единственную пучность в центре круга. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 28

• 
  Слайд 29
  

  Центральная точка колеблется с максимальной амплитудой, а далее амплитуда спадает к закрепленным краям с сохранением круговой симметрии. Так выглядит простейшее колебание основной частоты. Мембрана может быть возбуждена и в более высоких гармониках, тогда поверхность ее разбивается на участки узловыми линиями. Оказывается, что узловые линии у круглых пластинок могут иметь форму либо окружностей, либо диаметров. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 29

• 
  Слайд 30
  

  Эффектным и простым опытом является демонстрация узловых линий способом Хладни (по имени ученого, предложившего этот способ). Пластинку посыпают песком, а затем ударом или смыч­ком приводят в колебательное состояние. Песок скатывается с пуч­ностей и собирается на узловых линиях. На следующем слайде показано не­сколько примеров фигур Хладни. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 30

• 
  Слайд 31
  

  Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 31

• 
  Слайд 32
  

  Естественно, наиболее сложным является колебательное состоя­ние сплошного трехмерного тела. Мы ограничимся изучением собст­венных колебаний прямоугольного параллелепипеда. Если бы втаком теле существовали только стоячие волны, возникшие благо­даря сложению волн, бегущих параллельно ребру параллелепипеда, то собственные частоты колебаний ограничивались бы значениями Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 32

• 
  Слайд 33
  

  а волновые числа (так называют величины, обратные длине вол­ны) будут равны где n1, n2, n3- любые целые числа, a l1, l2, l3- длины ребер парал­лелепипеда.   Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 33

• 
  Слайд 34
  

  Однако в теле могут распространяться волны, идущие под про­извольным углом к границам. Стоячие волны образуются в том случае, если после ряда отражений луч придет в ту же точку, из которой он вышел. Волновое число такого луча должно вычисляться из k1, k2, k3по правилу сложения векторов. Таким образом,   Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 34

• 
  Слайд 35
  

  Ясно, что частоты колебаний для простейших случаев распростра­нения волн параллельно ребрам тела также получатся из этой фор­мулы, если положить отличным от нуля лишь одно из трех целых чисел, входящих в формулу. Спектр колебания трехмерного тела изображается в трехмерном пространстве, как это показано на следующем слайде, которое можно назвать пространством частот,или обратным пространством. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 35

• 
  Слайд 36
  

  Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 36

• 
  Слайд 37
  

  Если величины k1, k2, k3откладывать соответственно по трем осям, то возникнет решетка (обратная решетка), каждый узел которой представляет одну из собственных частот колебания тела за номерами n1, n2, n3.Радиус-вектор обрат­ного пространства, проведенный в узел решетки, равняется возможной частоте колебания. Если провести сферу радиусом n, то в нее попадут все точки, изображающие частоты, меньшие n. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 37

• 
  Слайд 38
  

  Объем такой сферы равен 4/3pn3, объем каждой ячейки обратной решетки равен (c/2)3/v, где v- объем тела. Следовательно, число собствен­ных колебаний тела с частотами, меньшими n(число узлов в октанте сферы), выражается формулой   Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 38

• 
  Слайд 39
  

  Эта интересная закономерность показывает, что число собственных частот резко возрастает, если мы начнем увеличивать интервал ча­стот, подлежащий рассмотрению. При больших частотах дискрет­ный характер спектра начинает смазываться, частоты становятся весьма близкими друг к другу. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 39

• 
  Слайд 40
  

  Если колебания стержня, пластинки или иного тела происходят не в вакууме, а в какой-либо среде, жидкой или газообразной, то некоторая часть интенсивности, зависящая, как нам известно, от отношения волновых сопротивлений соприкасающихся сред, переходит из колеблющегося тела в среду. Можно выразить эту же мысль короче: колеблющееся тело излучает энергию. Благодаря излучению свободные колебания стержня, струны и пр. быстро за­тухают. Вынужденные колебания стержней и пластинок СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 40

• 
  Слайд 41
  

  Если нужно, чтобы такое тело являлось постоянным источ­ником излучения, то колебания следует возбуждать посторонним источником. Так же как и в случае колебаний точки, подведение энергии может произойти как по схеме автоколебаний, так и созда­нием вынужденных колебаний. В зависимости от способа и места подведения внешней энергии можно возбудить, вообще говоря, любую из частот или любую ком­бинацию собственных частот способного колебаться тела. Вынужденные колебания стержней и пластинок СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 41

• 
  Слайд 42
  

  Так, например, если около натянутой стальной струны укрепить электромаг­нит, питаемый синусоидальным током от звукового генератора, то под действием периодически меняющейся внешней поперечной силы возникнут коле­бания струны. Заметными они станут лишь в случае резонанса. Подби­рая разные натяжения струны и варьируя внешнюю частоту, мож­но продемонстрировать колебание струны как на основной частоте, так и на обертонах. Вынужденные колебания стержней и пластинок СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 42

• 
  Слайд 43
  

  Огромное практическое значе­ние имеет создание вынужденных колебаний (стоячих волн) в пье­зоэлектрических пластинках и ферромагнитных стержнях. Эти колеблющиеся тела являются источниками ультразвуковых волн. Ферромагнитные тела обладают свойством удлиняться или укора­чиваться под действием магнитного поля (эффект магнитострикции). Вынужденные колебания стержней и пластинок СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 43

• 
  Слайд 44
  

  Так, никель и отожженный кобальт укорачивают-сяв полях любой напряженности, литой кобальт в слабых полях укорачивается, а в сильных удлиняется и, наконец, железо удлиняется в слабых полях и укорачивается в сильных. Так или иначе, любой ферромагнитный стержень будет способен совершать вынужденные колебания при внесении в переменное магнитное поле. Для этой цели стержень помещают обычно в отверстие сер­дечника трансформатора, через который проходит переменный ток. Вынужденные колебания стержней и пластинок СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 44

• 
  Слайд 45
  

  Чтобы стоячая волна в стержне была достаточно сильной, необхо­димо работать в условиях резонанса: частота переменного поля должна совпадать с собственной частотой колебания стержня. Так как стержень закрепляют в середине, то собственная частота колебаний причем стержень может совершать колебания только на нечетных гармониках.   Вынужденные колебания стержней и пластинок СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 45

• 
  Слайд 46
  

  Основная частота для никеля, если подставить значе­ния физических констант, окажется равной Так, основная ча­стота стержня длиной 40 см составляет 6 кГц. Магнитострикционные вибраторы используются, когда требуется получить низкочастотные колебания большой интенсивности.   Вынужденные колебания стержней и пластинок СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 46

• 
  Слайд 47
  

  Если же требуются высокочастотные колебания небольшой мощности, применяются электрострикционные устройства на основе пьезоэлектриков. Все кристаллы, не обладаю­щие центром симметрии, могут демонстрировать пьезоэлектрический эффект. Это явление заключается в изменении размеров кристалла под действием электрического поля и, обратно, в возникновении электрического поля в кристалле под действием приложенных к кристаллу сил. Колебания пьезоэлектриков СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 47

• 
  Слайд 48
  

  При использовании пьезоэлектрикав качестве источника колебаний мы, естественно, интере­суемся первым явлением, называемым также электрострицией,или обратным пьезоэлектрическим эффектом. В качестве пьезоэлектри­ков употребляют кварц, сегнетову соль, титанат бария, ЦТС, дигидрофосфатаммония и другие кристаллы. Вообще говоря, имеются сотни известных веществ, которые могли бы в принципе использоваться для той же цели. Колебания пьезоэлектриков СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 48

• 
  Слайд 49
  

  Однако наличие дополнительных требований (прочность, устойчивость к влаге и пр.), а также, разумеется, жела­ние выбрать кристаллы, дающие наиболее сильный эффект, резко ограничивают практический список веществ. Кристалл, помещенный в электрическое поле, меняет свои раз­меры в разных направлениях (по отношению к осям симметрии кристалла) по-разному. Колебания пьезоэлектриков СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 49

• 
  Слайд 50
  

  Поэтому, вырезая из кристалла стержни или пластинки, различно ориентированные по отно-шениюк осям крис­талла, и помещая их между обкладками конденсатора, мы будем получать деформации разного типа. Чаще всего вырезают пластин­ку кварца или другого пьезоэлектрика таким образом, чтобы под действием электри-ческогополя в ней происходили продольные сме­щения. Тогда под действием переменного электрического поля в та­кой пластинке возникнут вынужденные стоячие продольные волны. Колебания пьезоэлектриков СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 50

• 
  Слайд 51
  

  Если l - толщина пластинки в направлении движения волны, то собственные частоты колебания представятся, как обычно, формулой Для кварца в этой простейшей ориентировке скорость упру­гих волн равна 5400 м/с. Следовательно, основная собственная ча­стота колебания кварцевой пластинки найдется по формуле   Колебания пьезоэлектриков СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 51

• 
  Слайд 52
  

  (опыт дает несколько иное значение: 2880/lкГц). Амплитуды колебаний зависят от величины прикладываемого поля. Между величиной смещения и напряженностью электрическо­го поля существует линейная зависимость. Прибегают к довольно сильным полям. Кварц -превосходный изолятор, поэтому при толщинах до сантиметра применяются электрические поля порядка 30 000 В/см. Основным в получении сильного ультразвукового сигнала явля­ется резонансный эффект. Колебания пьезоэлектриков СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 52

• 
  Слайд 53
  

  Смещения под действием статического поля в тысячи раз меньше резонансных смещений, а ведь энергия колебания пропорциональна квадрату смещения. Если повышать частоту генератора, можно последовательно воз­будить пластинку на всех ее обертонах. Частоты наиболее распро­страненных промышленных ультразвуковых генераторов лежат в пределах от сотен до тысяч килогерц. Колебания пьезоэлектриков СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 53