Презентация на тему "Колебания"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Колебания

• 
  Слайд 2
  

  Движения, совершаемые телом или частицей около положения равновесия, часто встречаются в природе. Покачивается грузик, подвешенный на нитке, дрожит пружинка, колеблется атом, входящий в кристаллическую ре­шетку. Если материальное тело или точка, на которую действуют силы, находится в положении равновесия, то потенциальная энергия ее минимальна — система находится в потенциальной яме. Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 3
  

  Малые отклонения от равновесия быть представлен параболической зависимостью, т. е. в виде U=½kx2. Здесь ½k- коэффициент пропорциональности; половинка введе­на для удобства, которое сейчас станет очевидным. Если отклонения от положения равновесия невелики, то рас-смотре­нию подлежит малень-кий участок потенциальной ямы. Ход потенциальных кривых вблизи положе­ния равновесия всегда может

• 
  Слайд 4
  

  Эту зависимость легко обосновать. Потенциальная энергия есть функция смещения из положения рав-новесия. Как известно, при определенных допуще-ниях любую функцию при малых хможно разло-жить в ряд Тейлора по возрастающим степеням х: U = ах + ½kx2+ bx3+сх4+ ... Однако, если хмало, то члены с высокими степе-нямиможно от­кинуть, а первый член пропадает, если потенциальная яма симмет­рична, и значения потенциальной энергии на одинаковых расстоя­ни-яхслева и справа от точки равновесия одинаковы. Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 5
  

  Сила, действующая на отклонившуюся от равновесия точку, будет равна производной от потенциальной энергии с обратным зна­ком. Поэтому, если энергия выражается формулой U =½ kx2,то F =-kx.Смысл знака минус очевиден: сила всегда воз­вращает тело к положению равновесия, всегда направлена в сто­рону, противоположную смещению. Силу F =-kxтак и называют возвращающей силой,а коэффициент kиногда называют коэффици­ентом возвращающей силы. Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 6
  

  Характер движения точки под действием возвращающей силы можно определить при помощи второго закона Ньютона, который для движений вблизи равно­весия запишется в виде та =-kxили. Решением этого уравнения является гармоническая функция, т. е. точка будет совершает около положения равновесия колебания по закону .   Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 7
  

  Здесь А – амплитуда (максимальное отклонение от положения равновесия); Т- период колебания (время, за которое точка, совершив полный цикл колебания, возвращается в исходное положение) Проверим это утверждение. Скорость движения точки для написанной зависимости смещения от времени будет равна   Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 8
  

  Ускорение как производная скорости запишется: Подставляя в закон Ньютона ma = - kxвыражения для ускорения и для смещения, получим содержащие время множители сокращаются:   Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 9
  

  Таким образом, уравнение гармонического колебания удовлетворяет закону Ньюто­на для малых отклонений от равновесия. Замечательно то обстоятельство, что закон Ньютона определяет период возможных колебаний. Как видно из последней формулы, период свободных колебаний около положения равновесия определяется свойства­ми колеблющейся системы - коэффициентом возвращающей силы k и массой точки m:.   Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 10
  

  Не случайно поэтому этот период называют собственнымили характеристическим периодом колеблющейся системы. На амплитуду колебаний Аусловий не наложено, разумеется, за исключением того, что колебания должны быть малымиотклонениями от положения равновесия Малые отклонения от равновесия

• 
  Слайд 11
  

  Соответственно с тем, что в механике мы оперируем двумя видами потенциальной энергии - упругой и тяготения, механические колебания тел можно разбить на эти два случая. Тела, колеблющиеся под действием сил упругости, наиболее часто совершают линейные колебания сжатия и растяжения; распространены и крутильные колебания. Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 12
  

  Если тело, подвешенное на резиновом шнуре, пружине или про­волоке, будет смещено от положения равновесия в направлении шнура, оси пружины или проволоки, то возникнут линейные коле­бания под действием возвращающей силы упругости. Коэффициент k есть в этом случае жесткость колеблющегося тела. Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 13
  

  В какой мере этот коэффициент определяет возникающий период и частоту колебания, видно из следующего примера. Допустим, одинаковые грузы с одинаковой массой 1 кг под­вешены к трем пружинам различной жесткости. Под действием этих нагрузок пружины растянулись на 1 мм, 1 см и 1 м соответственно. Тогда коэффициенты жесткости пружин будут иметь значения: ; ;   Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 14
  

  Периоды и частоты колебаний этих маятников составят   Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 15
  

  В крутильных колебаниях возвращение к равновесию происхо­дит под действием вращающего момента, который при малых откло­нениях от равновесия прямо пропорционален угловому смещению. Если, скажем, на проволоке висит массивная шайба с моментом инерции / и проволока закручена на какой-то угол, то уравнениекрутильных колебаний шайбы будет выглядеть так: .   Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 16
  

  Роль возвращающей силы Dздесь играет вращающий момент, отнесенный к единице углового смещения, роль массы играет момент инерции. Значит, период свободных крутильных ко­лебаний представится формулой   Чем больше момент инерции, тем меньше частота колебаний.   Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 17
  

  Тела, колеблющиеся под действием сил тяготения, - это маятники. Если маятник можно представить как материальную точку, подвешенную к невесомой нити, то говорят о математическом маятнике. Из рисунка мы легко найдем выражение возвращающей силы F=mg sina -это составляющая веса по направлению касательной к траектории. Частные случаи колебаний l x

• 
  Слайд 18
  

  Если отклонения от равновесия малы, то. В этом приближении смещения по хорде и дуге совпадают по величине. Таким образом, возвращающая сила равна а ее коэф­фициент равен . В выражении для пери­ода колебаний сокращается масса колеблю­щейся точки: .   Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 19
  

  Независимость периода колебаний маятни­ка от массы является примером общей осо­бенности движения материальных точек в поле тяготения. Действительно, сила, дейст­вующая на такую материальную точку по за­кону тяготения, будет пропорциональна мас­се, поэтому в уравнении движения масса со­кратится. Итак, мы пришли к известному выводу, заключающемуся в том, что в данном месте поля тяготения период колебаний мате­матического маятника будет зависеть только от его длины. Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 20
  

  Измерения периода колебаний маятника могут быть использо­ваны для определения g. Эти измерения исключительно точны, по­этому самые незначительные колебания величины gмогут быть об­наружены. На этом основаны методы определения фигуры Земли и гравиметрическая разведка (небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта изменения значений gмогут произойти бла­годаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород). Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 21
  

  Если речь идет о малых колеба-нияхфизического тела, которое никак нельзя приближенно заме-нить точкой, то говорят о физиче­ском маятнике.Период коле­ба-нийфизического маятника вычис-ляетсяпо той же формуле, что и период крутильных коле­баний:   Частные случаи колебаний r

• 
  Слайд 22
  

  поскольку уравнение справедливо для любых движений тела, повора­чи-вающегосяоколо оси. Однако в случае поля тяго-тениямы легко можем выразить враща­тельный момент, отнесенный к единице углового смещения, через непосредственные характеристики маятника. Из того же рисунка видно, что вращающий момент   Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 23
  

  Считаяотклонения от положения равнове­сия небольшими, получим для вращающего момента выражение откуда .Таким образом, период колебанийфизического маятника определяется выражением Величину называют приведенной длиной фи-зическогомаятника. Такую длину имел бы математиче-скиймаятник с тем же периодом колебания.   Частные случаи колебаний

• 
  Слайд 24
  

  При колебаниях около положения равновесия в случае, если нет трения, полная энергия тела Ԑостается, разумеется, неизменной. Так как потенциальная энергия задается обычно с точностью до произвольной постоянной, то потенциальную энергию в положении равновесия (смещение х=0)будем считать равной нулю. В любой момент движения   Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 25
  

  В положении равновесия максимальна кинетическая энергия. В крайних положениях тело останавливается (у=0, х=А)и мак­симальна потенциальная энергия. Отсюда, кстати, очевидно, что -энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды.   Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 26
  

  Эти рассуждения не учитывают сил трения, испытываемых, как правило, любым колеблющимся телом. Такие идеальные колебания будут продолжаться вечно с неизменной амплитудой. Наличие трения приводит к затуханию колебаний. Формально и в этом случае можно записать уравне­ние смещения в виде однако амплитуда А будет уменьшаться со временем.   Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 27
  

  Превращения энергии. Затухающие колебания состоит в том, что сила трения пропорциональна скорости движения: fтр= av, где a- постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Чтобы узнать, как Адолж­но зави-сеть от времени, надо знать силы трения, т. е. нужно знать fтрдля каж­дого мгновения колебаний. Простейшее допущение, более или менее удовлетворительновыполняющееся на опыте,

• 
  Слайд 28
  

  Уравнение энергии имеет теперь вид колеблющаяся точка непрерывно теряет энергию в количестве, равном работе сил сопротивления. Уравнение движения записы­вается так: та= - kx - av. Нетрудно показать, что это уравнение удовлетво­ряется решением если амплитуда колебаний Aумень­шается со временем по экспоненциальному закону:   Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 29
  

  где А0 -амплитуда в момент времени t=0. Обратим внимание на то, что отношение двух последующих амплитуд – величина постоянная. Действительно, запишем выражения амплитуды через (n - 1) периодов и через nпериодов: ;   Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 30
  

  Разделим эти выражения друг на друга. Отношение действительно не зависит от n. Иногда быстроту затухания характе­ризуют логарифмическим декрементомd:   Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 31
  

  То есть затухание происходит тем быстрее, чем больше коэффи­циент сопротивления, чем меньше масса и чем больше период ко­лебания. Надо заметить, что период затухающих колебаний отличается от периода свободных колебаний. То же вычисление, которое при­водит к формуле временной зависимости амплитуды, дает для пе­риода выражение     Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 32
  

  Это значит, что при малом сопротивлении Т мало отличается отпри увеличении сопротивления период колебаний растет и, наконец, приколебания прекращаются. Мы говорим в этом случае, что тело, вы­веденное из положения равновесия, апериодически возвратится к этому положению.   Превращения энергии. Затухающие колебания

• 
  Слайд 33
  

  Если тело выведено из положения равновесия и затем предо­ставлено самому себе, то колебания его происходят с собственной частотой, не зависящей от характера возбуждения, а определяю­щейся лишь свойствами системы. Колебания тронутой струны име­ют одну и ту же частоту вне зависимости от того, щипком или уда­ром ее заставили звучать. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 34
  

  В то же время имеется ряд способов, при помощи которых телу можно «навязать» колебания с внешней частотой. Такие вынужден­ные колебания можно осуществить, если создать связь между двумя телами, способными колебаться. Одно из них будет вынуждать ко­лебаться другое. Неточно уравновешенный мотор совершает колебания, которые передаются фундаменту; фундамент будет совер­шать вынужденные колебания. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 35
  

  Можно проделать такой опыт: кар­манные часы кладутся в маленькую коробку, которая подвешивает­ся на трех нитях; коробка приходит в состояние вынужденного колебания. На рисунке слева показано устройство, при помощи которого можно вращением эксцентрика привести маятник в состояние вы­нужденных колебаний. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 36
  

  Во всех этих случаях на тело действует периодическая сила, меняющаяся с некоторой частотой w; такую силу уместно назвать внешней. Вынужденные колебания устанавливаются не сразу. Должно пройти некоторое время, пока связанное с колебательной системой тело само придет в колебание. В конце концов установится какая-то амплитуда, а частота колебания будет точно равна w. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 37
  

  Наличие у тела собственной частоты колебания w0 все же скажется на явлении вынужденных колебаний. Точнее, как мы сейчасувидим, существенно отличие собственной Вынужденные колебания частоты от внешней. На рисунке показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения w/w0 для трех систем, отличающихся трением.

• 
  Слайд 38
  

  При совпадении внешней частоты с собственной амплитуда вынужден­ного колебания максимальна. Это явление широко известно под названием резонанса. Кривые, изображенные на рисунке, могут быть найдены теоре­тически. Уравнение движения тела, совершающего вынужденные колебания под действием периодической внешней силы F0coswt,имеет вид   Вынужденные колебания

• 
  Слайд 39
  

  Нетрудно показать подстановкой, что смещение колеблющейся точки будет удовлетворять уравнению, где амплитуда а сдвиг фазы bудовлетворяет уравнению   Вынужденные колебания

• 
  Слайд 40
  

  Из первой формулы следует, чтоамплитуда Азависит от w следующим образом: при w

• 
  Слайд 41
  

  Чтобы обеспечить нечувстви-тельность сооружения к коле-баниямгрунта, нужно знать резонансную кривую, подобную изображенной на рисунке. Ниж-няякривая показывает колеба-ниягрунта, верхняя - здания. При резонансе, который насту-паетпри периоде колебания 0,32 с, амплитуды колебания достигают 20 - 25 микрон. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 42
  

  Это, в общем-то, немалая величина. Острота резонанса сказывается и еще на одном важном обстоятельстве: чем острее резонанс, тем медленнее устанавливаются колебания постоянной амплитуды. Другая особенность вынужденных колебаний - это сдвиг фазы. До сих пор мы молчаливо подразуме-валитакой выбор начала отсчета времени, при котором при t=0 смещение максимально в положи-тельном направлении. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 43
  

  Разумеется, если изучается какое-то одно колеба-ние, то нет нужды делать иной выбор начала от-счета. Однако если мы сравниваем два колебания и выбираем начало отсчета времени так, чтобы у одного из них при t=0x=A, то у второго колебания в это же мгновение смещение может иметь произ-вольное значение. Это обстоятельство можно учесть, вводя в аргумент косинуса сдвиг фазы b: если х=Аcos(wt+b), то это значит, что в момент вре-мениt=0x=Acosb. При помощи сдвига фаз bсме-щениепо фазе описывается вполне однозначно. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 44
  

  Вернемся теперь к резонансным явлениям.Величинаb в формуле вынужденного колебания означает, что фаза вынужденного колебания, во-обще говоря, сдвинута по отношению к фазе вынуждающего колебания. Величина сдвига фаз зависит от отношения собственной и внешней частот w/w0, а также от затухания. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 45
  

  На приведенном графике видно, что прирезонанс-ной частоте вне зависимости от затухания имеет место сдвиг фазы 90°. Если несколь-ко отойти от усло- Вынужденные колебания вийрезонанса,то влияние затухания станет очевидным.

• 
  Слайд 46
  

  При слабом затухании (малых значениях логарифмического декремента d) при частотах, несколько меньших резонансной, сдвиг фаз близок к нулю, при несколько больших частотах сдвиг фаз близок к 180°. Та же тенденция, но не так четко выраженная, имеет место и при сильном затухании. При незначительном трении можно говорить о скачке в 180°, который терпит сдвиг фаз при переходе частоты через резонансное условие. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 47
  

  Чтобы усвоить сущность этих интересных законо-мерностей, можно проделать простейший опыт. Подвесим на нитке груз и дадим ему покачаться свободно. Когда период свободных колебаний это-гомаятника выявится, остановим маятник и перио-дическимдвижением руки приведем его в состо-яниевынужденных колебаний. Сначала двигаем руку быстро, так, чтобы период собственных колебаний был больше периода вынужденных, а затем медленно, так чтобы период собственных колебаний был меньше периода вынужденных. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 48
  

  Мы убедимся в том, что в первом случае маятник и рука движутся в противофазе, а во втором случае — синфазно. Вынужденные колебания

• 
  Слайд 49
  

  На рисунке изображена ванна треугольного сече-ния, укрепленная на оси, около которой эта ванна может покачиваться. У ванны есть какой-то свой период свободных колеба- Автоколебания ний, и, откачнув ееот положения равновесия, мы можем наблюдать эти свободные колебания до тех пор, пока трение и сопротивление воздуха не остановят их.

• 
  Слайд 50
  

  Поместим эту ванну под водопроводным краном и пустим равномерный поток воды так, чтобы этот поток падал на стенку ванны подальше от ее центровой линии. Нетрудно сообразить, что при этом произойдет. По мере наполнения водой центр тяжести ванны повышается и, наконец, становится выше оси, около которой эта ванна закреплена. Небольшого давления струи воды теперь достаточно для переворота ванны, вода выльется и ванна вернется обратно. Автоколебания

• 
  Слайд 51
  

  Далее явление повторится и будет продолжаться до тех пор, пока в ванну будет поступать струя воды. Ванна будет колебаться. Однако характер этих колебаний и сущность явления весьма отличны от тех колебаний, которые мы изучали выше. Прежде всего, важно отметить, что внешнее воздействие не носит характера колебаний. Внешнее воздействие (давление струи воды) дает постоянную силу. Автоколебания

• 
  Слайд 52
  

  Второе обстоятельство: реальная система, под-верженная действию трения или иных сопротив-лений, совершает незатухающие колебания. И, наконец, еще одно важное обстоятельство: воз-никшие колебания не являются гармоническими, их уже нельзя представить синусоидой. В приме-ре, которым мы воспользовались, общего с сину-соидой будет совсем мало. Проделав подобный опыт, можно убедиться, что количество воды в ванне в зависимости от времени может быть пред-ставлено пилообразной кривой: Автоколебания

• 
  Слайд 53
  

  Автоколебания

• 
  Слайд 54
  

  Описанные колебания принадлежат к так называемым автоколебаниям. Автоколебания — своеобразное явление, принципиально отличное от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебания

• 
  Слайд 55
  

  Пример, выбранный выше, может показаться искусственным. Однако автоколебательные системы имеют значительное распространение, и мы сталкиваемся с ними весьма часто всюду, где имеют место механические или иные колебания. Автоколебания К автоколебательным системам принадлежат простейшие маятниковые часы.

• 
  Слайд 56
  

  Как известно, такие часы заводятся подъ­емом гири, которая висит на цепочке, перекинутой через зубчатое колесо. Это колесо с помощью зубчатого механизма передает вра­щение ходовому колесу, которое может сцепляться с изогнутым равноплечим рычагом - анкером. С анкером жестко скреплен маятник. В моменты, когда ходовое колесо касается своими зубьями зубьев ан­кера, маятник испытывает толчок, при этом ходовое колесо перемещается на один зубец. Автоколебания

• 
  Слайд 57
  

  В остальное время маят­ник с анкером качается свободно, обес­печивая точность хода часов. Анкер и ходовое колесо сконструированы таким образом, что маятник получает два толчка по ходу движения: один, когда он идет слева направо, а дру­гой - когда идет справа налево. В часах мы находим те же признаки автоколебательной системы, которые имеются в ванне треугольного сечения. Автоколебания

• 
  Слайд 58
  

  Колебания проис­ходят под действием постоянной (а не периодической) силы, коле­бания незатухающие, несмотря на наличие трения, и не имеют гар­монического характера. В приведенных примерах видно общее свойство автоколебаний, называемое обратной связью.Маятник совершает незатухающие колебания, заставляя механизм подталкивать себя в подходящие моменты. Механизм толкает маятник, а маятник оказывает обрат­ное действие на механизм. Автоколебания

• 
  Слайд 59
  

  Если маятник неподвижен, то прекра­щаются и толчки. Колебаниями маятника управляет сам маятник. Так же точно качаниями треугольной ванны управляет она сама. Поступающая вода регулирует качание ванны, а само уст­ройство ванны регулирует поступление воды. Автоколебания

• 
  Слайд 60
  

  Струна, тронутая пальцами и отпущенная, находится в состоя­нии свободных колебаний. Иначе обстоит дело со струной, по ко­торой музыкант ведет смычком; она совершает автоколебания пи­лообразного типа. Смычок увлекает струну, ведет ее за собой; когда смещение струны достигает некоторого предела, струна отрывается от смычка и возвращается в исходное положение. Смычок снова увлекает струну и процесс повторяется. Автоколебания

• 
  Слайд 61
  

  За секунду, пока музыкант ведет смычок, явление периодически повторяется сотни раз. Это - типичные автоколебания, так как они вызываются постоянно дейст­вующей силой. Сама струна своей упругостью управляет колеба­ниями. Скрипящие звуки плохо смазанных дверных петель - явления такого же происхождения. Автоколебания

• 
  Слайд 62
  

  Мы говорим во всех случаях об обратной связи, если прибор или машина вносит автоматически коррективы в свое поведение при из­менении условий работы. Принцип обратной связи является одной из основных идей, используемых современной автоматикой. Автоколебания

• 
  Слайд 63
  

  В ряде случаев может возникнуть задача анализа движения тела, участвующего одновременно в двух колебательных процессах. Колеблющийся маятник может находиться на колеблющейся плат­форме или качающемся корабле. Если речь идет о колебаниях одного направления, то такое сло­жение можно осуществить с помощью модели, показанной на следующем слайде. Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 64
  

  Два маятника колеблются в парал­лельных плоскостях. На них свободно положена лег­кая палка, к середине ко­торой прикреплено запи­сывающее перо. Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 65
  

  Можно считать приближенно, что при любых движениях маятников перо будет ходить в плоскости, мало отлич­ной от плоскостей колеба­ния обоих маятников, и что смещение пера в данное мгновение будет равно алгебраической сумме смещений маятников. Если х1есть смещение в первом из колебаний при отсутствии второго, а х2 - смещение при втором колебании в отсутствии пер­вого, то при одновременно происходящих колебательных процессах в каждое мгновение х = х1 + х2 Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 66
  

  В самом общем случае складывающиеся колебания могут разли­чаться амплитудами, частотами и иметь сдвиг по фазе. Рассмотрим сначала случай, когда колебания одинаковы по амплитуде и частоте, но сдвинуты по фазе. Тогда и   Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 67
  

  Это значит, что суммарное колебание будет также гармоническим с амплитудой Отсюда следует: амплитуды колебаний арифмети-чески складывают­ся, если колебания совпадают по фазе, и вы­читаются, если они противоположны по фазе (φ = 180°). В промежуточных случаях амплитуда примет значение между нулем и 2А. В частности, при φ= 120° амплитуда суммарного ко­лебания равна А.   Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 68
  

  Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 69
  

  Другой важный случай — это сложение колебаний разных час­тот. Для простоты положим φ = 0 и амплитуды равными. Тогда В общем случае при сложении таких колебаний возникает какое-то колебательное движение, при этом не удастся подметить строгой периодичности в изменении смещения х.Однако два частных случая заслуживают особого внимания.   Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 70
  

  Прежде всего, рассмотрим два колебания с близкими частотами ω1и ω2. Тогда (ω1-ω2 )

• 
  Слайд 71
  

  Такие колебания, называемые биениями,изображены ниже. Здесь отчетливо видны два периода: период основного колебания и период биений. Сложение колебаний одного направления

• 
  Слайд 72
  

  Мы уже говорили о колебаниях, в точности повторяющихся через определенные интервалы времени, но не являющихся гармо­ническими. Например, шла речь о пилообразных колебаниях. Если быть достаточно придирчивыми, то окажется, что гармониче­ских колебаний, т. е. таких, которые изображаются синусоидой, встречается в природе и технике много меньше, чем негармони­ческих. Спектр колебания

• 
  Слайд 73
  

  Говорили мы и о том, что сумма двух синусоид хоть и не дает синусоиды, но образует периодическое ко­лебание, если только частоты относятся как целые числа. Разу­меется, это верно и для любого числа гармонических колебаний, а не только для двух. Спектр колебания

• 
  Слайд 74
  

  Сумма колебаний с периодами Ти 1/2Т даст колебание с перио­дом Т;с таким же периодом будет происходить колебание, склады­вающееся из трех колебаний с периодами Т, 1/2Т, 1/3Т,из четырех — с добавлением колебания с периодом 1/4Т, из пяти — с добавлением колебания с периодом 1/5Ти т. д. Переходя к частотам, можно это выразить так: сумма любого числа колебаний с частотами, кратными ω, т. е. с частотами ω, 2ω, Зω, ..., есть колебание с частотой ω. Спектр колебания

• 
  Слайд 75
  

  Теперь перед нами встает такой естественный вопрос. Склады­вая произвольно большое число колебаний с частотами, кратными ω, беря разные колебания с разными амплитудами, не удастся ли нам всегда подобрать такую сумму, которая передаст своеобразие любого колебания, хотя бы даже и пилообразного?Положитель­ный ответ на этот вопрос был дан французским ученым Фурье. Спектр колебания

• 
  Слайд 76
  

  Тео­рема, которая носит его имя, доказывает, что всегда можно подо­брать такие значения а1,а2, а3,... и φ1, φ2, φ3, …, чтобы предста­вить любое периодическое колебание с частотой ωв виде суммы гармонических колебаний: Частота ωназывается основной частотой, частоты 2ω, Зω, ...— это обертоны,или гармоники(говорят: вторая гармоника, третья гармоника и т. д.).   Спектр колебания

• 
  Слайд 77
  

  Чем ближе график колебания к синусоиде, тем меньше амплитуды гармоник. Напротив, если график колебания мало похож на синусоиду, то амплитуды нескольких гармоник будут не сильно отличаться от амплитуды основной частоты. Представление колебания в виде суммы гармонических колеба­ний называется разложением колебания в спектр, а спектром называются данные о частотах и амплитудах гармонических колеба­ний, из которых составляется колебание с частотой ω. Спектр колебания

• 
  Слайд 78
  

  Спектр колебания Идею спектра оказывается Данные о спектре колебания можно записать в виде таблицы. Если частот много, то часто прибегают к графическому изображению спектра. возможным распространить и на непериодические процессы. Можно говорить о спектре упругих коле­баний, созданных ударом кулака по столу, имеет смысл понятиеспектра выстрела или выкрика.

• 
  Слайд 79
  

  Чтобы это стало ясным, рассмотрим сначала процесс, состоя­щий из периодических затухающих толчков. Это не выкрик или выстрел, а серия выкриков или выстрелов, повторяющихся через равные промежутки времени. Спектр колебания

• 
  Слайд 80
  

  Элементом такого процесса является быстро затухающее колебание, и вся кривая имеет вид, показанный на рисунке. Спектр такого колебания можно установить сущест­вующими средствами: он будет иметь вид, показанный на соседнем рисунке. Спектр колебания

• 
  Слайд 81
  

  Мы видим, что спектр состоит из множества частот, кратных основной. Спектр имеет максимум: наиболее сильно в спектре пред­ставлена восьмая гармоника. Спектр колебания

• 
  Слайд 82
  

  Это не случайно: если мы вернемся к картине колебания, то увидим, что в каждом отдельном толчке затухающий импульс колеблется с «часто-той», в 8 раз большей частоты основного тона. Спектр колебания

• 
  Слайд 83
  

  На рисунке показана картина таких же толчков, но они про­исходят реже, чем ранее. Сравним спектр этого колебания с предыдущим. Спектр колебания

• 
  Слайд 84
  

  Так как основная частота теперь в два раза меньше, то «частота» затухающего элементарного про­цесса (она осталась той же) будет теперь 16-й гармоникой основного тона. Спектр колебания

• 
  Слайд 85
  

  Распределение амплитуд гармоник останется прежним, но только число их в том же интервале частот станет в два раза большим. Спектр колебания

• 
  Слайд 86
  

  Нетрудно теперь понять, что спектр непериодического про­цесса - одного толчка - будет сплошным. Отдельных частот в нем не будет, но характер спектра в том же интервале частот будет весь­ма похож на то, что рассмотрено ранее. Спектр колебания

• 
  Слайд 87
  

  РядФурье — представление произвольной функции f с периодом Т в виде ряда

• 
  Слайд 88
  
• 
  Слайд 89

  Колебания

  Чтобы проследить за закономерностями сложного колебания, являющегося суммой двух взаимно перпендикулярных колебаний, рассмотрим маятник, участвующий одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Пусть колебание в вертикальном направлении про­исходит по закону , а в горизонтальном направле­нии — в соответствии с формулой .   Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 90
  

  Чтобы выяснить ха­рактер результирующей траектории, надо из этих двух уравнений исключить время и найти уравнение вида f(x, у)=0 (параметрическое уравнение движения) . Записывая выраже­ния смещений в виде   Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 91
  

  и заменяя во втором уравнении на и на, получим после элементарных преобразований уравнение эллипса, повернутого по отношению к осям координат: Начнем теперь менять параметры колебаний и проследим за по­ведением эллипса.   Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 92
  

  Если изменять разность фаз, то эллипс будет менять свою форму и одновременно поворачиваться Приразности фаз, равной 90°, оси эллипса будут совпадать с осями ко­ординат. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 93
  

  При изменении разности фаз в меньшую или большую сто­рону эллипс начнет поворачиваться налево или направо и одновре­менно сужаться. Когда разность фаз обратится в нуль, то эллипс выродится в прямую линию. В сказанном можно убедиться, под­ставляя в написанное выше уравнение эллипса значения δ = 0°, 90°, 180°. Если амплитуды колебаний вдоль вертикали и горизонтали рав­ны, то при разностях фаз в 90°и 270° траектория становится окруж­ностью. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 94
  

  Между этими двумя разностями фаз есть различие, хотя они и дают тождественные траектории. В одном случае маятник обегает окружность по часовой стрелке, а в другом — против. Чтобы это увидеть, надо вернуться к исходным уравнениям. Они запишутся так:   Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 95
  

  Первая пара уравнений указывает, что при возрастании времени от t=0точка с координатами х=а, у=0начинает двигаться в сто­рону отрицательных у,т. е. по часовой стрелке. Обратное движение описывается второй парой уравнений. Если частоты колебаний слег­ка различаются, то можно заметить, что эллипсы не стоят на месте, а медленно переме­щаются так, как будто бы происходило непрерывное изменение сдвига фаз. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 96
  

  На самом деле не эллипс поворачивается, а кривая, вычерчиваемая концом маятника, как бы непрерывно переходит из одного эллипса в другой. Действительно, ведь различие частот вполне экви­валентно случаю непрерывно меняющейся разности фаз. Скажем, частота вертикального колебания ω2на Δωбольше частоты горизонтального колебаний ω1, тогда где в скобках стоит переменная разность фаз.   Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 97
  

  Если частоты существенно отличаются друг от друга, то маятник не успевает пройти значительную часть одного эллипса, как ужефаза его становится иной. В результате описываемые кривые все меньше и меньше напоминают эллипсы. Примеры этих кривых, называемых фигурами Лиссажу, показаны на следующем слайде, Изображены кривые для отношения частот 3:4 и 1:2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 98
  

  Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

• 
  Слайд 99
  
• 
  Слайд 100