Презентация на тему "ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

  Локальная и интегральная

• 
  Слайд 2
  

  Пьер-Симо́н Лаплас(1749- 1827) - выдающийся французский математик, физик и астроном; один из создателей теории вероятностей. Был членом Французского Географического общества. Абрахам де Муавр(1667- 1754) — английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской(1754) и Берлинской (1735) академий наук.

• 
  Слайд 3
  

  Теорема Муавра - Лапласа - простейшая из предельных теорем теории вероятностей. В общем виде теорема доказана Лапласом в книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Один частный случай теоремы был известен Муавру(1730), в связи с чем она и называется теоремой Муавра-Лапласа. Утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение.

• 
  Слайд 4
  

  Рассмотрим последовательность из n независимых опытов, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p, либо не произойти - с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через Pn(m) вероятность того, что событие A произойдет ровно m раз из n возможных. Если n будет достаточно большим, то найти значение Pn(m) по теореме Бернулли становится нереально из-за огромного объема вычислений. Локальная теорема Муавра -Лапласа позволяет найти приближенное значение вероятности.

• 
  Слайд 5
  

  Локальная теорема Муавра - Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико, а число p отлично от 0 и 1, тогда: Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

• 
  Слайд 6
  

  Для расчетовсоставлена таблица значений функции φ (x), необходимо учитывать свойства: 1. φ(−x) = φ(x) - четная, в таблице приведены значения функции лишь для положительных аргументов; 2. Функция φ(x) -монотонно убывающая. Предел φ(x) при x→∞ равен нулю. 3. Если х > 5, то можно считать, чтоφ(х)≈0. Функция φ(х) уже при х = 5 очень мала: φ(5)=0,0000015. Поэтому таблица значений не продолжена для х > 5.

• 
  Слайд 7
  

  Пример.Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р = 0,75. Найти вероятность, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз. Решение.n = 100, m = 80, p = 0,75, q = 0,25. Находим , определяем (1,16) = 0,2036, тогда: Р100(80) =

• 
  Слайд 8
  

  Задание. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,02. Какова вероятность того, что среди 2500 выпущенных изделий окажется 50 бракованных Варианты ответов: 0,1045; 2) 0,86; 3) 0,0570; 4) 0,0172;5) 0,3989. Ответ: пункт 5

• 
  Слайд 9
  

  Фрагмент таблицы функции

• 
  Слайд 10
  

  Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность, что в n независимых испытаниях (n>>1) собы­тие А состоится число раз, заключенное в границах от а до bвключительно:

• 
  Слайд 11
  

  где функция Ф (х) определяется равенством Формула называется интегральной формулой Муавра— Лапласа. Получаемые по интегральной и локальной формулам Муа­вра — Лапласа вероятности достаточно точны, если произведение nр составляет несколько сотен!!!

• 
  Слайд 12
  

  Свойства функции Ф(х) Функция Ф(х) нечетная, Ф (- х) = - Ф(х). Функция Ф(х) монотонно возрастающая. Предел функции Ф(х) при x→∞равен 0,5. Для всех значений х > 5 считают, что Ф (х) ≈ 0,5. Уже Ф (5) = 0,4999992, при увеличении х функция Ф (х) возрастает, но не может пре­восходить0,5. Поэтому в таблицах функция дана для значений х

• 
  Слайд 13
  

  Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Вероятность, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события А от его постоянной вероятности не превысит положительного числа , приближенно равна:

• 
  Слайд 14
  

  Пример. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04. Решение. По условию задачи: n = 625; p = 0,8; =0,04.Отсюда q =1– p = 0,2. Требуется найти вероятность:

• 
  Слайд 15
  

  Для решения задачи воспользуемся формулой, определяющей оценку отклонения относительной частоты от постоянной вероятности: Ф(х) – интегральная функция Лапласа. Найдем аргумент функции Лапласа: По табл. функции Лапласа: Ф(2,5) = 0,4938, т.е. 2Ф(х) = 0,9876.

• 
  Слайд 16
  

  Итак, искомая вероятность:

• 
  Слайд 17
  

  Пример. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции 1-го сорта. Определить вероятность, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760. Решение. p = 0,7; q = 1 – p = 0,3; n = 1000; np = 0,7 × 1000 = 700; npq = 700 × 0,3 = 210 . =  

• 
  Слайд 18
  

  = Ответ: искомая вероятность равна 0,99901.  

• 
  Слайд 19
  

  Пример. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870. Решение. По условию задачи n = 40000, p = 0,02. Находим np = 800, . Для вычисления Р (m 870) воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа: Р(0

• 
  Слайд 20
  

  Находим по таблице значений функции Лапласа: Р(0

• 
  Слайд 21
  

  Пример.Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала . Решение. По условию p = 0,8, n = 400. Используем следствие из интегральной т. Муавра-Лапласа:

• 
  Слайд 22
  

  Следовательно, . По таблице для функции Лапласа определяем Отсюда,  = 0,0516.

• 
  Слайд 23
  

  Фрагмент таблицы значений функции Лапласа.

• 
  Слайд 24
  
• 
  Слайд 25