Презентация на тему "векторное исмешанное произведение векторов"

Содержание

• 
  Слайд 1

  векторное исмешанное произведение векторов

  Лекция № 9

• 
  Слайд 2

  Правая и левая тройка векторов

  Три некомпланарных вектораи , взятые в указанном порядке, образуют ПРАВУЮ ТРОЙКУ, если с конца третьего векторакратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден ПРОТИВ ЧАСОВОЙ стрелки:   Если же с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден ПО ЧАСОВОЙ стрелке, то тройка векторов считается ЛЕВОЙ.   ВОПРОС : БАЗИСНЫЕ ОРТЫ являются ЛЕВОЙ или ПРАВОЙ тройкой?   ОТВЕТ: ПРАВАЯ тройка.                   ПРАВАЯ ТРОЙКА ЛЕВАЯ ТРОЙКА

• 
  Слайд 3

  ВЕКТОРНОЕ произведение векторов

  ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ двух ненулевых векторов и называется ВЕКТОР, который :   1. ортогонален векторам и , ;   Обозначение векторного произведения :           3. векторы и образуют ПРАВУЮ тройку.   2. имеет длину (модуль), равную числу где угол между векторами и  

• 
  Слайд 4
  

  Можно убедиться, что между базисными ортамиверны соотношения :         Проверим, например, первое равенство :         1. ортогонален векторам и , ;   3. векторы образуют ПРАВУЮ тройку.   2.   ЗАДАНИЕ: Второе и третье равенство проверить дома.

• 
  Слайд 5

  Свойства векторного произведения

  3. При перестановке множителей векторное произведение МЕНЯЕТЗНАК на противоположный : 1. Постоянное число можно вносить и выносить за скобки векторного произведения : 2. При векторном умножении суммы векторов на вектор можно раскрыть скобки :      

• 
  Слайд 6

  Геометрический смысл векторного произведения

  Длина (МОДУЛЬ ) векторного произведения численно равна ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, построенного на векторах и как на сторонах:   Так как площадь треугольника равна ПОЛОВИНЕ площади параллелограмма,то                

• 
  Слайд 7

  Критерийколлинеарности

  Два ненулевых вектора иКОЛЛИНЕАРНЫ тогда и только тогда, когда их ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ равно НУЛЕВОМУ вектору:   Действительно, если,то угол между ними равен или . Так как и , то длина векторного произведения , что соответствует НУЛЕВОМУ вектору.   Если же, то , и так как вектора иненулевые, то, ; значит, то есть или , и .   ВОПРОС: Чему равен ВЕКТОРНЫЙ КВАДРАТ вектора?   ОТВЕТ: ВЕКТОРНЫЙ КВАДРАТ любого вектора , так как любой вектор КОЛЛИНЕАРЕН самому себе.        

• 
  Слайд 8

  Выражение векторного произведения через координаты

  Пусть заданы два вектора :; . Вектор имеет координаты:   Для запоминания этой формулы удобно использовать символ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ третьего порядка: В первой строке символического определителя стоят базисные орты . Во второй строке - координаты первого вектора; В третьей строке - координаты второго вектора.   Используя разложение определителя по элементам ПЕРВОЙ строки, получим:        

• 
  Слайд 9

  СМЕШАННОЕ (ВЕКТОРНО -СКАЛЯРНОЕ)произведение векторов

  Составим произведение ТРЕХ векторов и таким образом: первые ДВА умножаются ВЕКТОРНО :, а их результат умножается на ТРЕТИЙ вектор скалярно::   Смешанное произведение НЕ МЕНЯЕТСЯ при перемене мест знаков векторного и скалярного умножения : ВОПРОС: Смешанное произведение является ВЕКТОРОМИЛИЧИСЛОМ?       Смешанное произведение является ЧИСЛОМ.        

• 
  Слайд 10

  Геометрический смысл СМЕШАННОГО произведения

  Если построить ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД на векторах и , то СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ этих векторов равно ОБЪЕМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, взятому со знаком « ПЛЮС», если эти векторы образуют ПРАВУЮ тройку.   Если тройка векторов и ЛЕВАЯ, то СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ этих векторов равно ОБЪЕМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, взятому со знаком «МИНУС»: .          

• 
  Слайд 11

  Критерий КОМПЛАНАРНОСТИ трех векторов

  ТРИ ненулевых вектораи КОМПЛАНАРНЫтогда и только тогда, когда их СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ :   Теперь пусть ; если они НЕ компланарны, то можно построить параллелепипед с объемом . Но так как, то получим, что противоречит условию. Значит, предположение о том, что векторы и НЕ компланарны, ОШИБОЧНО , и иКОМПЛАНАРНЫ.     и   КОМПЛАНАРНЫ               Пусть дано, чтои КОМПЛАНАРНЫ, то есть параллельны одной плоскости. Тогда вектор будет ортогонален этой плоскости и составит с третьим вектором прямой угол . Скалярное призведение таких векторов равно нулю, то есть            

• 
  Слайд 12

  Выражение смешанного произведения через координаты

  Пусть заданы три вектора :;   Если найти их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений, то получим формулу: Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из КООРДИНАТ умножаемых векторов.  

• 
  Слайд 13
  

                        Приложения смешанного произведения Вычисление объема треугольной пирамиды (тетраэдра) ВОПРОС: Зачем нужен знак модуля у смешанного произведения? ОТВЕТ: Смешанное произведение левой тройки векторов - число отрицательное, а объем тела (пирамиды) не может быть меньше нуля, поэтому требуется знак модуля.

• 
  Слайд 14

  Задача № 1

  Найти площадь треугольника с вершинами : .   РЕШЕНИЕ: По геометрическому смыслу векторного произведения: Вычисляем: ОТВЕТ:                                                                  

• 
  Слайд 15

  Задача № 2

  В треугольнике с вершинами найти высоту, проведенную из вершины на основание .   РЕШЕНИЕ: По геометрическому смыслу векторного произведения: По другой формуле: Проведем в треугольнике высоту .   Приравняем правые части ивыразим   Из задачи 1 известно: Вычислим модуль вектора   ОТВЕТ: 5.                                          

• 
  Слайд 16

  Задача№ 3

  Проверить компланарность векторов: РЕШЕНИЕ: 1) ОТВЕТ: векторы и не компланарны, образуют левую тройку.   2) ОТВЕТ: векторы компланарны.   1)   2)                    

• 
  Слайд 17
  

  Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах   если   Объем параллелепипеда , построенного на векторах ,   равен МОДУЛЮ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ этих векторов : .   Координаты векторов найдем по известному разложению : Ответ :.           РЕШЕНИЕ :             Задача№ 4