Презентация на тему "Векторы в пространстве"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Векторы в пространстве

• 
  Слайд 2

  Содержание темы

  Понятие вектора. Равенство векторов Сложение и вычитание векторов. Сложение нескольких векторов Умножение вектора на число Компланарные вектора. Правило параллелепипеда Разложение вектора по трём некомпланарным векторам Решение задач

• 
  Слайд 3
  

  Опред: Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором.   точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым.

• 
  Слайд 4
  

  Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора А (вектора а) обозначается такΙАВΙ (ΙаΙ). Длина нулевого вектора считается равной нулю: |0|=0.   A B

• 
  Слайд 5
  

  Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора и коллинеарны и если при этом лучи АВ и CD сонаправлены, то векторы АВ и CD называются сонаправленными,   A B C D а если эти лучи не являются сонаправлемными, то векторы АВ и CD называются противоположно направленными. A D B C

• 
  Слайд 6
  

  Векторы называются равными, если они соноправлены и их длины равны. На рисунке , так как и , а, так как .  

• 
  Слайд 7

  Решение задач

  На рисунке изображён параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки М и К — середины ребер В1С1, и A1D1. Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов.

• 
  Слайд 8
  

  На рисунке изображён тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки М, N, Р и Q — середины сторон АВ, AD, DC, ВС. а) Выпишите все пары равных векторов, изображённых на этом рисунке, б) Определите вид четырёхугольника MNPQ.

• 
  Слайд 9
  

  Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1таковы: AD=8 см, AB=9 cм и АА1=12 см. Найдите длины векторов: а) СС1, СВ, СD; б) DC1, DB, DB1

• 
  Слайд 10

  Сложение векторов

  Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

• 
  Слайд 11

  Правило параллелограмма

  Для сложения двух неколлинеарных векторов a и b, нужно отложить от какой- либо точки А векторы равные данным и построить параллелограмм.Тогда диагональ и будет суммой двух векторов. a b A a b a+b

• 
  Слайд 12

  Правило треугольника

  Для сложения двух векторов по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. a b A a b a+b

• 
  Слайд 13

  ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА

  1 ) От конца вектора а1 отложить вектор а2 ,равный вектору а2; 2) Повторить откладывание векторов столько раз , сколько векторов нужно отложить; 3) Провести вектор из конца вектора аn в начало а. ВЫВОД: полученный вектор в и будет суммой векторов а 1 , а2 , а3 ,… и аn a1 a2 a3 a4 A

• 
  Слайд 14

  ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

  Для любых векторов а , в и с справедливы равенства: 1) а + b = b + а - переместительный закон 2) ( а + b ) + с = а + ( b + с ) -сочетательный закон

• 
  Слайд 15

  ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

  Разностью векторов а и b называется такой вектор , сумма которого с вектором b равна вектору а a b A a b a-b

• 
  Слайд 16

  Задачи

  используя правило треугольника ,параллелограмма постройте векторы ОА = а +в а) а b б) а b с) b а

• 
  Слайд 17
  

  используя треугольника, постройте векторы ОА = а -в а) а b б) а b с) b а

• 
  Слайд 18
  

  используя правило треугольника , постройте векторы ОА = а +в+с а) а b б) а b с) b а с с с

• 
  Слайд 19
  

  Найдите:

• 
  Слайд 20
  

  Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор ,длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при и притивоположно направлены при . a k a b a k k>0 b k

• 
  Слайд 21
  

  Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон k (a + b) = ka + kb (k+l)a = ka + la Для любых , и любых чисел , справедливы равенства: a b b k l

• 
  Слайд 22
  

  Пусть х = m + n, y = m – n Выразите через и векторы m n 2х – 2у 2х + у 2 1 –х – у 3 1

• 
  Слайд 23

  Математический диктант

• 
  Слайд 24
  

  Задача: Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОВ — ОА = ОС — OD; б) 0B — ОС = DA.

• 
  Слайд 25

  КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

  Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

• 
  Слайд 26
  

  Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) АА1, СС1, ВВ1 б) АВ, AD, АА1; в) В1В, AC, DD1 г) AD, СС1 и А1В1,?

• 
  Слайд 27
  

  Если вектор с можно разложить по векторам а и b, т. е. представить в виде с = ха + уb, гдeх и у — некоторые числа, то векторы a, b, c компланарны. Справедливо и обратное утверждение: если векторы а, b и с компланарны, а векторы а и b не коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам а и b, причем коэффициенты разложения (т. е. числа х, у) определяются единственным образом.

• 
  Слайд 28

  Правило параллелепипеда.

  Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда. Пусть а, Ь, с — некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы ОА=а, ОВ=Ь, ОС —с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки О А, ОВ и ОС были его ребрами.Тогда диагональ OD этого параллелепипеда изображает сумму векторов а, Ь и с: OD = а + b + c.

• 
  Слайд 29
  
• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31

  Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

  Если вектор р представлен в виде p = xa + yb + zc, где х, у и z — некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам a, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения. Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

• 
  Слайд 32