Презентация на тему "Приложения определенного интеграла к решению физических задач"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Тема урока

  Приложения определенного интеграла к решению физических задач

• 
  Слайд 2

  Цель урока

  Познакомиться с историей развития интегрального и дифференциального исчисления Научиться применять интеграл для решения физических задач

• 
  Слайд 3

  Вычисление площади криволинейной трапеции

  На отрезке функция

• 
  Слайд 4
  

  Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла.

• 
  Слайд 5

  Вычисление пути

  Перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v = v (t), за промежуток времени , вычисляется по формуле

• 
  Слайд 6

  Вычисление массы неоднородного стержня и координаты центра масс

  а) суммарная масса М стержня равна в) координата центра масс равна

• 
  Слайд 7
  

  Интеграл

• 
  Слайд 8

  БЕРНУЛЛИ Якоб

  Слово интеграл Внес существенный вклад в разработку основ дифференциального и интегрального исчислений, аналитической геометрии, теории вероятностей и вариационного исчисления. Решил проблему Лейбница об изохронной кривой, исследовал логарифмическую спираль, ввел полярные координаты.

• 
  Слайд 9

  БЕРНУЛЛИ Иоганн

  В 1697 опубликовал работу по экспоненциальному исчислению, в которой впервые сформулировал задачу о брахистохроне; Ряд открытий в области интегрального и дифференциального исчислений.

• 
  Слайд 10

  ЛЕЙБНИЦ Готфрид Фридрих

  Наряду с Ньютоном и независимо от него, создал дифференциальное и интегральное исчисления. Ввёл применяемое и сегодня обозначение производной df/dx. Ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1, на котором базируется современная компьютерная техника.

• 
  Слайд 11

  Фурье

  Доказал теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными пределами Нашел формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике. Доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением.

• 
  Слайд 12

  КЕПЛЕР Иоганн

  В своих сочинениях «Новая астрономия» и «Стереометрия винных бочек» правильно вычислил ряд площадей и объемов.

• 
  Слайд 13

  Барроу Исаак

  Оставил способы изучения криволинейных фигур и метод касательных, в чём многие видели предвестника дифференциального исчисления.

• 
  Слайд 14

  НЬЮТОН Исаак

  Одновременно с Г. Лейбницем, но независимо от него, создал дифференциальное и интегральное исчисления. Вместе с Г. В. Лейбницем считается основоположником дифференциального исчисления.

• 
  Слайд 15

  БУНЯКОВСКИЙ Виктор

  Сделал перевод сочинений Коши о дифференциальном и интегральном исчислениях, причём присоединил к этому переводу свои примечания, а также составил, по поручению министерства народного просвещения, несколько учебных руководств по разным отраслям математики.

• 
  Слайд 16

  ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил

  Метод выделения рациональной части неопределенного интеграла от рациональной дроби

• 
  Слайд 17

  ЧЕБЫШЕВ Пафнутий Львович

  По интегральному исчислению особенно замечателен мемуар 1860 г.: «Sur l'intégration de la différentielle», в котором даётся способ узнать при помощи конечного числа действий, в случае рациональных коэффициентов подкоренного полинома, возможно ли определить число А так, чтобы данное выражение интегрировалось в логарифмах и, в случае возможности, найти интеграл.

• 
  Слайд 18

  РИМАН Бердхард

  Предложил исследовать внутреннюю геометрию пространств, тем самым заложил основы дифференциальной геометрии и подготовив фундамент для общей теории относительности Рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана.

• 
  Слайд 19

  Вычисление площади криволинейной трапеции

  На отрезке функция

• 
  Слайд 20
  

  Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла.

• 
  Слайд 21

  Вычисление пути

  Перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v = v (t), за промежуток времени , вычисляется по формуле

• 
  Слайд 22

  Вычисление массы неоднородного стержня и координаты центра масс

  а) суммарная масса М стержня равна в) координата центра масс равна

• 
  Слайд 23

  Работа переменной силы

  Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проекция которой на ось Ох есть функция f от x. При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М(a) в точку М(b). Покажем, что в этом случае работа А подсчитывается по формуле a b 0 M(a) M(b) x

• 
  Слайд 24
  

  0 M(a) M(b) x Разобьём отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины Т. к. f (x) – непрерывная функция от х, при достаточно малом отрезке [a;b] работа силы на этом отрезке приближенно равна f(a)( -a). Т. О. работа силы на n-м отрезке приближенно равна f()(b- ).

• 
  Слайд 25
  

  Значит, работа силы на всем отрезке Приближенное равенство переходит в точное, если считать , что n→

• 
  Слайд 26
  

  Этапы работы над задачей Исследовать физическую ситуацию Перевести содержание задачи на язык функций Применить математические методы для решения задачи Проанализировать полученный результат

• 
  Слайд 27

  Задача 1

  Нефть, подаваемая в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите затраченную при этом работу. Высота бака – h, а радиус основания R.

• 
  Слайд 28

  Задача 2

  Канал имеет в разрезе форму равнобедренной трапеции высотой h с основаниями aи b. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину.

• 
  Слайд 29

  Задача 3

  Вычислите работу, которую необходимо совершить, чтобы поднять тело массой m с поверхности Земли на высоту h

• 
  Слайд 30
  

  Слово интеграл от латинского integer– целый. Интеграция – восстановление, восполнение, воссоединение. Интегрирование – процесс объединения отдельных частей в целое.

• 
  Слайд 31
  

  Задача. Пружина жёсткостью K=1000 Н/м растянута на 6 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту пружину дополнительно еще на 8 см?

  Первый способ решения Пусть х1 – начальное удлинение пружины, тогда х2 – удлинение ее после дополнительного растяжения,тогда х2 =х1+ Δ х и изменение длины пружины Δ х= х2- х1. Учитывая закон Гука: Fупр =k х, и то, что сила упругости при деформации пружины изменяется, вычисляем работу А=Fсред· Δ х=Fсред (x2 - x1) =(F1+F2)· ·(x2 - x1) /2 =(kx1+ kx2)(x2 - x1)/2= kx22/2 - kx12/2= k(x1 +Δх)2/2- kx12/2=8Дж

• 
  Слайд 32