Презентация на тему "«Первообразная и интеграл»"

Содержание

• 
  Слайд 1

  «Первообразная и интеграл»

• 
  Слайд 2

  Определение первообразной.

  Функция F называется первообразной для функции fна заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка  

• 
  Слайд 3

  Основное свойство первообразной

  Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:Признак постоянства функции.  Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

• 
  Слайд 4
  

  Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может бытьзаписана в виде F(x)+C, где F (х) — одна из первообразных для функ-цииf (x) на промежутке I, С — произвольная постоянная.

• 
  Слайд 5

  Геометрический смысл первообразной

  Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл:  графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис.).

• 
  Слайд 6

  Таблица первообразных

• 
  Слайд 7

  Правила вычисления первообразных

  Правило 1 Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. (F+G)'=F'+G'=f+g

• 
  Слайд 8
  

  Правило 2.Если F есть первообразная для f, ak — постоянная, то функция kF — первообразная для kf.(kF)'=kF'=kf. Правило 3. Если F (х) есть первообразная для f (x), ak и b — постоянные, причем k≠0, то    есть первообразная для f (kx+b).

• 
  Слайд 9

  Криволинейная трапеция

  Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией.

• 
  Слайд 10

  Различные виды криволинейных трапеций

• 
  Слайд 11
  

  Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяют следующую теорему:

  Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции) равна приращению первообразной на отрезке [а; b] т. е. S=F(b)-F(a). 

• 
  Слайд 12

  Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

  Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.

• 
  Слайд 13
  
• 
  Слайд 14
  

  Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками x0 = а

• 
  Слайд 15
  

  а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 1) равна: В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом n, т. е. при малом Δx, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией.

• 
  Слайд 16
  

  Поэтому возникает предположение, что Sn≈S при больших n. (Коротко говорят: «Snстремится к S при n, стремящемся к бесконечности»— и пишут: Sn→S при n→∞.) Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [а; b] функции а (не обязательно неотрицательной) Sn при n→∞ стремится к некоторому числу.

• 
  Слайд 17
  

  Это число называют (по пределению) интегралом функции f от а до b и обозначают  , т.е. при n→∞ (1 ) (читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэикс»). Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак   называют знаком интеграла. Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования.

• 
  Слайд 18
  

  Итак, если f(х)≥0 на отрезке [а; b] то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

• 
  Слайд 19
  

  Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной. Если   f непрерывна на отрезке   и F — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство