Презентация на тему "Применение дискретных неравенств в исследовании разностных динамических систем"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  «Применение дискретных неравенств в исследовании разностных динамических систем»

  Ким Екатерина Лян Анастасия Ученицы 12С НИШ г. Талдыкорган

• 
  Слайд 2

  ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

  Получить различные дискретные неравенства и систематизировать различные типы дискретных неравенств, которые могут использоваться в теории устойчивости РДС.

• 
  Слайд 3

  Актуальность работы иНаучная новизна исследования

• 
  Слайд 4

  Неравенства Беллмана, Бихари, Гронуолла

• 
  Слайд 5
  

  (1.1) , (1.2) . , Лемма о дискретном аналоге неравенства Беллмана

• 
  Слайд 6
  

  Гронуолла Если , то ) Бихари Если , то  

• 
  Слайд 7

  Применение дискретных неравенств к исследованию РДС

• 
  Слайд 8

  Оценки решения нелинейных разностных динамических систем

• 
  Слайд 9
  

  (2.1.1) , (2.1.2) . (2.1.3)

• 
  Слайд 10
  

  Обозначим (2.1.4) Теперь возьмем некоторую функцию , тогда получим так как то

• 
  Слайд 11
  

  Это даст , , ,

• 
  Слайд 12
  

  Варьируя по n получим (2.1.5) где . Подставим (2.1.5) в (2.1.4), получим

• 
  Слайд 13
  

  По свойству модуля имеем Пусть вектор функция удовлетворяет условию (2.1.6) , где - некоторое положительное число, - сколь угодно малое положительное число, тогда получим следующее неравенство

• 
  Слайд 14
  

  Введем обозначения , и получим , где Применяя лемму 1, получим следующую оценку (2.1.7) где так как , то (2.1.8) .

• 
  Слайд 15

  Теорема 2.1.1

  Если нелинейная часть РДС (2.1.1) в окрестности начала координат удовлетворяет условию (2.1.6) то ее решение оценивается сверху неравенством (2.1.8)

• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17

  Теорема 2.1.2

  Пусть, , - неотрицательные функции. Если при выполняется неравенство (2.1.9) тогда

• 
  Слайд 18
  

  Доказательство: Отметим Положим , тогда Очевидно, что при . Из того, что

• 
  Слайд 19
  

  находим Умножая обе части неравенства 2.1.13 на и учитывая, 2.1.11 преобразуем его. Получим оценку (2.1.14) Далее, пусть . Преобразуем левую часть неравенства (2.1.14) к виду (2.1.15)

• 
  Слайд 20
  

  где D- некоторое значение, находящееся между и Из того, что- неубывающая, а - невозрастающая, следует если

• 
  Слайд 21
  

  и если Из 2.1.13 и 2.1.15 получаем (2.1.16) при Учитывая, что , и суммируя (2.1.16) по n от 0 до n+1находим (2.1.17) при

• 
  Слайд 22

  Теорема 2.1.3

  Пусть функции , - непрерывны и функции , - суммируемы, предположим, что , неотрицательны на Nи удовлетворяют неравенству (2.1.26) , , тогда справедливо неравенство (2.1.27)

• 
  Слайд 23
  

  (2.1.32) Представим решение РДС (2.1.32)в следующем виде (2.1.33) где фундаментальная матрица линейной РДС: Рассмотрим разностную динамическую систему

• 
  Слайд 24
  

  Из соотношения , , , , где - некоторое положительное число, - сколь угодно малое положительное число, получим следующее неравенство ,

• 
  Слайд 25
  

  Введем обозначения, пусть и . Тогда получим

• 
  Слайд 26

  Теорема 2.1.4

  Пусть функция - непрерывна и функция - суммируема. Предположим, что - неотрицательна на N и удовлетворяют неравенству тогда справедливо неравенство

• 
  Слайд 27
  

  Доказательство: Применяя теорему 2.1.3, получим оценку Из этого неравенства следует утверждение теоремы.

• 
  Слайд 28

  Результаты исследования:

  некоторые новые дискретные неравенства, которые позволяют судить об устойчивости РДС; одно неравенство типа Гронуолла, которое применяется для оценки решения нелинейных разностно-динамических систем с помощью фундаментальных решений линейного приближения.

• 
  Слайд 29

  Вывод:

  В работе проведено исследование, при котором решение оценивается функциями, зависящими от известных параметров, входящих в правые части РДС. При этом были систематизированы различные типы дискретных неравенств, которые могут быть использованы в теории устойчивости РДС. Эти задачи до сих пор не были проработаны и поэтому полученные результаты представляют теоретическую и практическую ценность и важны в приложениях.