Презентация на тему "Методы решения неравенств с одной переменной" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  (типовые задания С3) - 1 Методы решения неравенств с одной переменной Методическая разработка Амачкиной А.А. МОУ СОШ №12, г. Балашиха, Московской области. pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  1. Алгебраические методырешения

  Если исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записанывыражения с переменной, то при решениинеравенств используют преобразования(возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенствок более простому виду. В процессе преобразований множество решений исходногонеравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонниерешения), либо сужается (можно потерятьрешения). Поэтому важно знать, какиепреобразования неравенства являютсяравносильными и при каких условиях.

• 
  Слайд 3

  1.1. Сведение неравенства кравносильной системе илисовокупности систем

  Как правило, преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от знаков корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма.Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых стандартных неравенствопределенного вида. При этом отметим,что на практике некоторые цепочки преобразований делают короче, пропускаянекоторые очевидные преобразования.Например, вместо длинной цепочки преобразований

• 
  Слайд 4
  

  В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему, ход решения разбивают на несколькологически возможных случаев.

• 
  Слайд 5
  

  Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство Решение. Так как x2- 6x + 9 = (x-3)2 , то область допустимых значений переменной x определяется условиями: Исходное неравенство при полученныхограничениях для переменной x равносильно неравенству

• 
  Слайд 6
  

  при x= 2 или x= 4 . Значит, сучетом полученных ранее ограничений,x= 2 – решение, так как в этом случае левая часть неравенства (1) равна нулю.

• 
  Слайд 7
  

  На числовой прямой Ox данографическое представление решения последнего неравенства. 3 _ + _ + x 1 0 Замечание. При решении неравенства использован метод интервалов. С учетом полученных ранее ограничений записываем ответ.

• 
  Слайд 8
  

  Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство Решение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим:

• 
  Слайд 9
  

  Неравенства, содержащиеиррациональные выражения Приведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств, в которых используют возведениев натуральную степень обеих частей неравенства.

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  
• 
  Слайд 12
  

  Пример 3. Решите неравенство Решение. Если 2 - x> 0 или 2 -x= 0 ,то исходное неравенство не выполняется,так как Пусть 2 -x> 0 , тогда при возведенииобеих частей неравенства в квадрат получим на ее области определения и при условии 2 -x> 0 равносильное неравенство.

• 
  Слайд 13
  

  x -2 7 2 -18 x x На рис. представлен способ графической интерпретации получения решенияпоследней системы неравенств. В итоге получаем

• 
  Слайд 14
  

  Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство Решение. Используя схему (6), получим, что данное неравенство равносильносовокупности двух систем: Для системы (I) имеем:

• 
  Слайд 15
  

  Первое неравенство системы (I) приводимк виду: На числовой прямой Ox дано графическоепредставление решенияпервого неравенства системы (I). _ + _ + x 0 -1 +

• 
  Слайд 16
  

  Тогда решением системы (I) все значения Для системы (II) имеем: x 0 -1 3 Следовательно, решением системы (II) будет Объединяя решения (I) и (II), получаем ответ.

• 
  Слайд 17
  

  При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (6). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Если , то обе части неравенства неотрицательны. После возведения в квадрат обеих частей неравенства получим на его области определения и при условии равносильное не равенство, то есть систему неравенств

• 
  Слайд 18
  

  Пусть x2-2x - 3

• 
  Слайд 19
  

  Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенство Решение. Выполняя равносильные переходы, получим

• 
  Слайд 20
  

  На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. x 0 1 3 7 2

• 
  Слайд 21
  

  Пример 6. Решите неравенство Решение. Обозначим. Тогда выразим x=t2+ 2 и приведем данное неравенство к виду Так как t+ 2 > 0, то получаем равносильное неравенство 2t 2+ 7 >t2+ 4t + 4или t 2 - 4t +3 > 0 при Отсюда получаем

• 
  Слайд 22
  

  Возвращаемся к переменной x :

• 
  Слайд 23
  

  Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство Решение. Область определения данногонеравенства определяется условиями: Запишем исходное неравенство в следующем виде

• 
  Слайд 24
  

  Так как на области определения исходного неравенства, то,умножив обе части неравенства (*) наполучим неравенство,равносильное исходному: Левая и правая части последнего неравенства неотрицательны при - 0,5

• 
  Слайд 25
  

  На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. x 4 8 С учетом условия - 0,5

• 
  Слайд 26

  Неравенства, содержащиепоказательные выражения

  Приведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств, в которых используют логарифмирование обеих частей неравенства.

• 
  Слайд 27
  

  В частности:

• 
  Слайд 28
  

  Пример 8. Решите неравенство Решение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной x определяетсяусловием: При допустимых значениях переменнойпреобразуем левую часть данного неравенства

• 
  Слайд 29
  

  Получаем неравенство 2-й способ. Так как то, используя схему (12), получаем:

• 
  Слайд 30
  

  Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)

• 
  Слайд 31
  

  Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x

• 
  Слайд 32
  

  При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Выражение (x2 + x +1)x положительно, так как x2 + x +1 > 0 при всех значениях x э R . Прологарифмируем обе части данного неравенства lg(x2 + x +1)x

• 
  Слайд 33
  
• 
  Слайд 34

  Неравенства, содержащиелогарифмические выражения

  Приведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств, в которых используют потенцирование обеих частей неравенства. В частности: ● Если число a >1, то

• 
  Слайд 35
  

  ● Если число 0 1, то ● Если число 0

• 
  Слайд 36
  

  Пример 10. Решите неравенство log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3) Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в обеих частях неравенства, удовлетворяют условию 0

• 
  Слайд 37
  

  Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств В соответствии со схемой (17) для решения необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей

• 
  Слайд 38
  

  На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. _ + _ + x 3 0 2 1 7 x

• 
  Слайд 39
  

  Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенствовыражения имеют смысл при выполненииусловий:

• 
  Слайд 40
  

  Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифмасправедливы равенства: то исходное неравенство приводится к виду Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем на множестве

• 
  Слайд 41
  

  С учетом области определения данногонеравенства получаем ответ.

• 
  Слайд 42

  Неравенства, содержащие выраженияс модулями

  Пример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

• 
  Слайд 43
  
• 
  Слайд 44
  

  Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями,которые опираются на определение модуля, его геометрический смысл и свойства.

• 
  Слайд 45
  

  Пример 14. Решите неравенство Решение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство равносильносистеме неравенств или после приведения подобных членов

• 
  Слайд 46
  

  Пример 15. Решите неравенство Решение. Данное неравенство равносильно следующему Используя схему (23), получаем, что этонеравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности неравенств

• 
  Слайд 47
  

  Пример 16. Решите неравенство Решение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство равносильносовокупности неравенств Используя схемы (20) и (22), получаем,что эта совокупность равносильна следующей.

• 
  Слайд 48
  

  Для решения неравенств вида: где символ \/ заменяет один из знаков неравенств: применяют методпромежутков. Для этого находят ОДЗ неравенства, определяют точки разрыва функций f1(x), f2(x), ……, fn(x) и находят корнисовокупности уравнений

• 
  Слайд 49
  

  На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, функции, стоящие под знаком модуля, имеют постоянный знак. Поэтому исходное неравенство на каждом промежутке заменяется на неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному. Пример 17. Решите неравенство Решение. Решением совокупности являются числа 1 и 2. Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка

• 
  Слайд 50
  

  Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля решим данное неравенство на каждом из этих промежутков + _ X-1 X-2 1 2 X + + _ _ Если x 3 + x , x 3+ x , x

• 
  Слайд 51
  

  Если, то исходное неравенстворавносильно неравенству x -1+ x - 2 > 3+ x , x > 6 . Получаем, что x> 6 есть решение исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. Объединяя полученные решения, запишем ответ.

• 
  Слайд 52

  Расщепление неравенств

  Если левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений,а правая часть равна нулю, то схема решения неравенства опирается на правилознаков при умножении (делении) положительных или отрицательных чисел.

• 
  Слайд 53
  
• 
  Слайд 54
  

  Пример 18. Решите неравенство Решение. Приведем данное неравенство к следующему виду: В соответствии со схемой полученноенеравенство равносильно совокупностисистем (I) и (II):

• 
  Слайд 55
  

  Решим каждое неравенство системы (I). Для неравенства (1) имеем: Для неравенства (2) имеем:

• 
  Слайд 56
  

  Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решениясистемы (I). Найдем решение системы (II). Для неравенства (3), используя решение (1), имеем:

• 
  Слайд 57
  

  Значит все значения – решения системы (II). Объединяя решения систем (I) и (II), получаем ответ. Для неравенства (4), используя решение (2) и учитывая ограничения имеем:

• 
  Слайд 58
  

  Используемая литература: Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. pptcloud.ru