Презентация на тему "Метод рационализации"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Метод рационализации

• 
  Слайд 2
  

  Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств. Введение

• 
  Слайд 3
  

  Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство видаявляется стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем: Теоретическое обоснование метода  

• 
  Слайд 4
  

  Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) 0 равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).  

• 
  Слайд 5
  

  Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1) где - некоторые функции Теорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств: (2) Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

• 
  Слайд 6
  

  Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана. Доказательство

• 
  Слайд 7
  

  Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции. И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме. Сведение показательных неравенств к системе рациональных неравенств

• 
  Слайд 8
  

  Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств: (4)

• 
  Слайд 9
  

  Если , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Доказательство

• 
  Слайд 10
  

  Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, q – выражения с переменной x (h > 0,h 1, f > 0, g > 0), 1). а – фиксированное число (a > 0, a

• 
  Слайд 11
  
• 
  Слайд 12
  

  Доказательство Пусть loga f- loga g> 0, то есть loga f> logag,причём a > 0, a ≠ 1, f > 0,g> 0. Если 0 0 верное на области определения выраженияF = logaf- logag. Если a > 1, то f> g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f– g)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f– g)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f> 0, g> 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. a– 1 0 f– g 0 Из каждой системы следует неравенство logaf> logag, то есть logaf- logag> 0. Аналогично, рассматриваются неравенства F

• 
  Слайд 13
  

  Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем = Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или (h-1)(f-g) .

• 
  Слайд 14
  

  Так как = то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f- 1)(g - 1)(h - 1)(g– f).

• 
  Слайд 15
  

  Из неравенства > 0 следует . Пусть число а > 1, тогда loga > logaили (h – g)logah> 0. Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем (f – g)(a – 1)(h– 1) > 0, (f – g)(h– 1) > 0. Аналогично, доказываются неравенства F | q | и p2 > q2 ( | p |

• 
  Слайд 16
  

  Решить неравенство: Решение: Пример 1.

• 
  Слайд 17
  

  - - + + -2 2 1 ОТВЕТ:

• 
  Слайд 18
  

  Решить неравенство: Решение: Пример 2.

• 
  Слайд 19
  

  - + -2 1 0 ОТВЕТ: -1 -1 0 1 + - - +

• 
  Слайд 20
  

  Решить неравенство: Решение: Пример 3.

• 
  Слайд 21
  
• 
  Слайд 22
  

  Пример 4. Решить неравенство: Решение:

• 
  Слайд 23
  
• 
  Слайд 24
  

  Пример 5. Пример 6. Пример 7. Пример 8. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ Решите примеры

• 
  Слайд 25
  

  Пример 9. Пример 10. Пример 11. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ

• 
  Слайд 26
  

  - + 1/2 3 2 ОТВЕТ: + - 0 -1 Пример 5 НАЗАД

• 
  Слайд 27
  

  - + 6 2 ОТВЕТ: 1 3 9 + - + Пример 6 НАЗАД

• 
  Слайд 28
  

  + - -1 3 1 ОТВЕТ: 0 -1 0 2 + - + (2;3) Пример 7 НАЗАД

• 
  Слайд 29
  

  - + -2 1 ОТВЕТ: -1 -1 0 + - Пример 8 НАЗАД

• 
  Слайд 30
  

  - + -3 1 0 ОТВЕТ: -1 -1/2 4 + + - Пример 9 НАЗАД

• 
  Слайд 31
  

  - + 3 ОТВЕТ: 1 1 2 + + - Пример 10 НАЗАД

• 
  Слайд 32
  

  3/2 ОТВЕТ: 0 5/4 Пример 11

• 
  Слайд 33
  

  Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972. Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.   С П И С О К использованной литературы