Содержание
-
Числовые ряды
Лекции 10,11
-
Определение числового ряда
Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Определение.Выражение (1) называется числовым рядом, - общий член ряда.
-
Примеры
Рассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +… Очевидно, сумма четного числа его членов равна нулю, а нечетного –единице. Такой ряд не имеет суммы.
-
Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы, сходится, если
-
Понятие сходящегося ряда
Опр. Конечные суммы , называются частичными суммами ряда (1). Опр. Если существует конечный , то числовой ряд называется сходящимся, а число - суммой ряда. Если равен бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.
-
Пример сходящегося ряда
Показать, что ряд сходится и найти его сумму. Общий член ряда . Тогда , , ,…
-
Свойства сходящихся рядов
1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е. . 2) Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е.
-
От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов или наоборот прибавить конечное число слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится.
-
Гармонический ряд
Исследуем ряд , называемый гармоническим. Для решения задачи запишем гармонический ряд в развернутом виде: и наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими членами
-
Продолжение
Найдем частичные суммы второго ряда: . Итак,гармонический ряд расходится, т. к. его сумма больше суммы вспомогательного ряда.
-
Признаки сходимости ряда
Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то . Если же , то ряд расходится.
-
Пример расходящегося ряда
Пример 1. Ряд расходится, так как .
-
Знакоположительные ряды
-
Признак сравнения.
Пусть даны ряды и . Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.
-
Признак сравнения в предельной форме
Если существует конечный и отличный от нуля , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.
-
Примеры
В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд , который расходится, и ряд или ,о которых известно, что первый сходится, а второй при p1сходится, а при p1 расходится.
-
Исследовать на сходимость ряды а) и б) . Найдем предел отношения членов данного ряда и ряда ,с которым сравниваем данный ряд. . Ряд сходится.
-
Ряд сравниваем с гармоническим рядом . Так как , то данный ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
-
Признак Даламбера
Если существует конечный то 1)при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится, 3)при признак ответа не дает.
-
Примеры
Исследовать на сходимость ряд Так как , то и . Так как , то данный ряд сходится.
-
Признак Коши
Если существует конечный то 1)при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится, 3)при признак ответа не дает.
-
Примеры
Ряд исследуем с помощьюпризнака Коши. Вычислим . Тогда и ряд согласно признаку Коши расходится.
-
Интегральный признак
Пусть члены ряда положительны и при . Пусть функция при имеет значения , положительна и монотонно убывает при .Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным интегралом
-
Обобщенный гармонический ряд
Исследуем ряд . Функция монотонно убывает. Несобственный интеграл = .Ряд расходится при p1 .
-
Пример
Исследовать на сходимость ряд . Члены ряда положительны и монотонно убывают. Функция , очевидно, также положительна при x2 и монотонно убывает.
-
Продолжение
. Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся.
-
Знакопеременные ряды
-
Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) и 2) . Тогда знакочередующийся ряд сходится, причём его сумма Sне превосходит его первого члена, т.е. .
-
Примеры
Исследовать на сходимость ряды: 1) , 2) . 1) члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и . Согласно признаку Лейбница ряд сходится.
-
2) общий член ряда не стремится к нулю, так как Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.
-
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Если сходится ряд , то знакопеременный ряд также сходится.
-
Абсолютно сходящийся ряд
Определение. Если сходится ряд , то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
-
Условно сходящийся ряд
Определение. Если сходится ряд , а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
-
Пример
Ряд абсолютно сходится, т.к. ряд из модулей его членов сходится. Ряд сходится условно, т.к. он согласно признаку Лейбница сходится, но ряд из модулей его членов, т.е. ряд расходится вместе с гармоническим рядом .
-
Остаток ряда и его оценка
Определение. Если числовой ряд сходится, то разность называется n-м остатком ряда. Таким образом, представляет собой сходящийся ряд. При этом . Теорема. Если знакочередующийся ряд сходится, то .
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.