Презентация на тему "Ряды. Определение и свойства"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 7. Тема: Ряды. Определение и свойства. Цель: Рассмотреть понятие ряда и основные свойства.

• 
  Слайд 2

  Определение числового ряда

  Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Выражение вида называется числовым рядом.

• 
  Слайд 3

  Сходимость рядов с положительными членами

  Конечные суммыназывают частичными суммами ряда. Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел ,при этом число называют суммой ряда.

• 
  Слайд 4

  Расходящиеся ряды

  Если равен бесконечности или вообще не существует, то ряд называется расходящимся. Ряд является расходящимся, так как его частичные суммы , , очевидно, при не имеют конечного предела.

• 
  Слайд 5

  Необходимый признак сходимости ряда

  Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. Таким образом, если , то ряд расходится.

• 
  Слайд 6

  Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

  Признак №1 Пусть даны ряды и . Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.

• 
  Слайд 7

  Признак сравнения 2, или признак сравнения в предельной форме.

  Пусть даны два ряда с положительными членами и и пусть существует конечный и не равный нулю . Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

• 
  Слайд 8

  Признак Даламбера

  Если для знакоположительного ряда существует конечный предел то ряд сходится при Ll..

• 
  Слайд 9

  Признак Коши

  Если для знакоположительного ряда существует предел , то при L1 ряд расходится.

• 
  Слайд 10

  Интегральный признак

  Если при x 1 - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

• 
  Слайд 11

  Сходимость знакочередующихся рядов.

  Знакочередующимся рядом называют ряд вида: где .

• 
  Слайд 12

  Признак Лейбница

  Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, то есть если выполняются условия: 1) , 2)

• 
  Слайд 13

  Примеры

  Исследовать на сходимость ряды: 1) , 2) . 1) члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и . Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

• 
  Слайд 14
  

  2) общий член ряда не стремится к нулю, так как Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.

• 
  Слайд 15

  Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

  Понятие знакопеременного ряда включает в себя как знакочередующиеся ряды, так и ряды с произвольным чередованием знаков своих членов.

• 
  Слайд 16

  Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

  Если сходится ряд , то знакопеременный ряд также сходится.

• 
  Слайд 17

  Абсолютно сходящийся ряд

  Если сходится ряд , то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Условно сходящийся ряд Если сходится ряд , а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

• 
  Слайд 18

  Степенные ряды

  Ряд называется степенным по степеням х. Ряд является степенным по степеням . С помощью замены такой ряд сводится к ряду по степеням х .

• 
  Слайд 19

  Интервал сходимости

  Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.

• 
  Слайд 20
  

  Вопросы: 1)Определение рядов? 2)Сходимость числовых рядов? 3)Область сходимости степенного ряда?