Презентация на тему "Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда"

Презентация: Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда
Включить эффекты
1 из 17
Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
1.0
1 оценка

Комментарии

Нет комментариев для данной презентации

Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.


Добавить свой комментарий

Аннотация к презентации

Посмотреть презентацию на тему "Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда" в режиме онлайн с анимацией. Содержит 17 слайдов. Самый большой каталог качественных презентаций по математике в рунете. Если не понравится материал, просто поставьте плохую оценку.

  • Формат
    pptx (powerpoint)
  • Количество слайдов
    17
  • Слова
    математика
  • Конспект
    Отсутствует

Содержание

  • Презентация: Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда
    Слайд 1

    Проект Семенова Алексея Витальевича Тема: « Степенные ряды. Область сходимости степенногоряда» Димитровград 2008г.

  • Слайд 2

    Содержание: Определение степенного ряда Примеры степенных рядов Область сходимости степенного ряда. 4. Равномерная сходимость функционального ряда. 5. Нахождение радиуса сходимости ряда. 6. Список использованной литературы.

  • Слайд 3

    Степенной ряд и его область сходимости. Определение:Степенным рядом называется функциональный ряд вида: где постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

  • Слайд 4

    Любой степенной ряд сходится при х=0, т.к. в этой точке все члены ряда (1), кроме первого, - нули. Есть степенные ряды вида (1), которые сходятся лишь в точке х=0; такие ряды относят к рядам первого класса. Например, ряд сходится лишь в точке х=0; в любой другой точке х≠0 этот ряд расходится. Действительно, при каждом х≠0 из числовой оси имеем числовой ряд. Исследуем его на сходимость. Образуем ряд Применив к последнему ряду признак Даламбера, получим: при всех х≠0. Следовательно, ряд (3), значит, и ряд (2) расходятся при всех х≠0. (1) (2) (3)

  • Слайд 5

    Еще в середине 60-х годов XVII века, получив формулу бинома для натурального показателя, Ньютон сразу же приступил к выяснению того, действительна ли она для отрицательных и дробных показателей. В частности, он проверил ее для показателей В первом случае он пришел к ряду , во втором к ряду Здесь, как при любом рациональном m, сумма биномиального ряда (при ) дает арифметическое значение радикала. Получение биномиального ряда

  • Слайд 6

    Получение биномиального ряда

    При имеем: Этот ряд сходится при (). Однако, результаты Ньютона в этом, как и в других вопросах анализа, были, как известно, опубликованы намного позже их получения автором. Так называемый биномиальный ряд, связанный с именем Ньютона, имеет следующий вид: При этом m – любое, отличное от нуля вещественное число. Этот ряд сходится при , т.е. при Доказательство разложения для любого вещественногоm , было дано Эйлером.

  • Слайд 7

    Способ разложения в ряд, предложенный Ньютоном

    Одним из способов разложения в ряды, применявшихся Ньютоном, было обращение ряда; например, исходя из логарифмического ряда в котором x разложен по степеням y, он устанавливает обратное разложение y по степеням x, получая: или , который представляет собой показательный ряд, он сходится для любого х.

  • Слайд 8

    Заменив в ряде хна–х2, найдем: Этот ряд Ньютон проинтегрировал почленно, получив: Ряд сходится на отрезке

  • Слайд 9

    Область сходимости степенного ряда

    Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число , что степенной ряд сходится при и расходится при Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиусом сходимости ряда.

  • Слайд 10

    Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости степенного ряда на границе круга сходимости, то есть при , дать нельзя. В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать отдельно. Заметьте еще, что при R=0 степенной ряд сходится только в точке z=a; при R=+ степенной ряд сходится.

  • Слайд 11

    Нахождение радиуса сходимости ряда

    Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов. 1. Если существует , то . 2. Если существует , то . 3. Пусть . Тогда .

  • Слайд 12

    ПРИМЕР . Определить интервал сходимости ряда и исследовать его на концах интервала:

    Решение. Т.к. степенной ряд по теореме Абеля сходится абсолютно в интервале сходимости, то рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Это ряд положительный, поэтому мы можем для его исследования применить признак Даламбера. , . Получили интервал сходимости данного ряда IxI

  • Слайд 13

    Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала

    x= - 3подставим в данный ряд, получим .Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Первое условие признака Лейбница выполняется, т.к. Второе условие признака Лейбница также выполняется, т.к.

  • Слайд 14

    x= - 3подставим в исходный ряд, получим гармонический ряд, он расходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток . Ответ: или

  • Слайд 15

    Краткая историческая справка

    Леонард Эйлер (1707-1783) Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук, автор огромного количества научных открытий во всех областях математики. Эйлер первым применил средства математического анализа в теории чисел, положил начало топологии.

  • Слайд 16

    Исаак Ньютон(1643 – 1727)

    В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский Университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулстропе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г.В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон так же находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел. Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях. Работы Ньютона надолго опередили пути развития физики и математики. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, , позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

  • Слайд 17

    Список использованной литературы: И.И. Баврин, В.А. Матросов Общий курс высшей математики. 2. М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике для ВУЗов. 3. Б.В. Соболь Практикум по высшей математике/ Ростов н/Д: Феникс, 2006,-640 с.

Посмотреть все слайды

Сообщить об ошибке