Презентация на тему "Знакомство с рядами Фурье"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Ряды Фурье

  Лекции 15, 16

• 
  Слайд 2

  Определение ортогональной системы функций

  Тригонометрическая система функций называется ортогональной на отрезке [-,] и на всяком отрезке длины 2 тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .

• 
  Слайд 3

  Примеры

  Рассмотрим несколько примеров таких интегралов. в силу нечетности подынтегральной функции.

• 
  Слайд 4

  Определение ряда Фурье

  Тригонометрический ряд , коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е. называется рядом Фурье периодической с периодом 2π функции.

• 
  Слайд 5

  Определение кусочно-монотонной функции

  Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна. Примеры кусочно-монотонных функций:1) , 2)sinx, 3)cosx.

• 
  Слайд 6

  Достаточный признак сходимости ряда Фурье

  Если периодическая с периодом 2 функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-,] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то .

• 
  Слайд 7

  Разложение в ряды Фурье четных функций

  Если f(x)–четная функция, то функции являются нечетными, а функции -четнымипри любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла : , если f(x) – нечетна, и , еслиf(x) – четна

• 
  Слайд 8

  Продолжение

  получим Тогда имеем: , где для четной функции.

• 
  Слайд 9

  Ряд Фурье нечетной функции

  Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье имеет вид: , где коэффициенты

• 
  Слайд 10

  Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции

  Если функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π функции, положив . Тогда функция имеет период 2 π. В самом деле: π

• 
  Слайд 11

  Продолжение

  Разложим в ряд Функцию , а затем вернемся к старой переменной. Имеем , где , ,

• 
  Слайд 12

  Ряд Фурье четной функции

  Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы: , где

• 
  Слайд 13

  Ряд Фурье нечетной функции

  Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде: , где

• 
  Слайд 14

  Разложение в ряд Фурье непериодических функций

  Если функцияне является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную. Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.

• 
  Слайд 15

  Пример разложения функции в ряд Фурье

  1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам и б) по косинусам. Доопределим функцию до периодической нечетным образом.

• 
  Слайд 16

  Решение

  Тогда , где Вычислим интеграл по частям:

• 
  Слайд 17

  Продолжение

  Таким образом, , а , где или де ли

• 
  Слайд 18
  

  Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда .

• 
  Слайд 19
  

  При четномn выражение в скобках равно нулю и, значит, , а при – нечетном, т.е. при, . Тогда Мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке (0,).