Презентация на тему "Диофант и его уравнения"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Диофант и его уравнения

  Автор: Потапова Софья 10 класс, МОУ гимназия № 63 Научный руководитель: Багина Татьяна Александровна, учитель математики высшей категории

• 
  Слайд 2

  Цель:

  научиться решать диофантовы уравнения и задачи, сводящиеся к ним Гипотеза: умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.

• 
  Слайд 3

  Задачи:

  познакомиться с теоретическим блоком, связанным с Диофантом и его уравнениями; классифицировать диофантовы уравнения; научиться решать уравнения в целых числах несколькими способами и классифицировать методы; сделать выводы; создать приложение, в которое будет входить подборка разных задач;

• 
  Слайд 4

  Методы:

  Анализ Классификация Наблюдение Обобщение Диофантовы уравнения Объект

• 
  Слайд 5
  

  Практическая значимость моей работы заключается в использовании ее на углубленных занятиях по математике, при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ.

• 
  Слайд 6
  

  Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком, И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. о Диофанте Немного

• 
  Слайд 7
  

  Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

• 
  Слайд 8
  

  Умножим уравнение на 84,чтобы избавиться от дробей: Таким образом, Диофант прожил 84 года.

• 
  Слайд 9

  Неопределенные уравнения I – ой степени и их решения

  ax + by = с ax + by + cz = d

• 
  Слайд 10
  

  Метод перебора Метод «спуска» ax + by = с

• 
  Слайд 11

  Метод перебора

  Рассмотрим уравнение: 4,5х + 6у = 57. Нужно найти все натуральные значения переменных х и у.

• 
  Слайд 12
  

  Помножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных чисел , получим: 9х + 12у = 114. Выразим у через х:

• 
  Слайд 13
  

  Ответ:

• 
  Слайд 14
  

  Метод «Спуска» Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс Мыс Каменный – Лабытнанги - Мыс Каменный. Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено 76000 р.

• 
  Слайд 15
  

  Пусть х – стоимость 1 т дизельного топлива, а у – оплата труда водителей. Тогда 4х + 2у – затрачено на выполнение рейса. А по условию задачи затрачено 76000 р. Получим уравнение: Выразим переменную у через х: Решение

• 
  Слайд 16
  

  Выделив целую часть, получим: (1). Т.е. 2х = 4z, где z- целое число. Отсюда: Чтобы значение дроби было целым числом, нужно, 2х было кратно 4.

• 
  Слайд 17
  

  Значение х подставим в выражение (1): Итак:

• 
  Слайд 18
  

  Т.к. х, у 0 ,то 19000 z 0, следовательно, придавая z целые значения от 0 до 19000, получим следующие значения x иy:

• 
  Слайд 19
  

  Если х = 18000, у = 10000, то z = 9000, проверим: , .

• 
  Слайд 20

  ах + by + cz =d

  1.) При трех коэффициентах a, b и c может возникнуть, В данном примере коэффициенты a иbвзаимнопросты. по крайней мере, два взаимнопростых коэффициента. Например: 2.) Каждые два коэффициента имеют общий множитель, Здесь коэффициенты a иb имеют общий множитель 3, но все три взаимнопросты. Например: . b иc – множитель 5,a иc – 4 и все три коэффициента взаимнопросты.

• 
  Слайд 21
  

  Дана однокомнатная квартира. Стоимость содержания жилья на 1 м2 составляет 8 р. Стоимость теплоэнергии на 1 м2 равна 33 р. Стоимость 1 м3 воды на человека – 16 р. Какую площадь имеет квартира. Какая площадь отапливается в этой квартире. Норматив потребления воды на человека в течение месяца. Если известно, что в квартплате за месяц всего начислено 1416 р. Задача:

• 
  Слайд 22
  

  . Обозначим переменными: x - количество кв. м в квартире, y –количество кв. м в квартире, которым отведена теплоэнергия, а z – количество воды (м3), потребляемое на человека. Тогда 8x + 33y + 16z - всего начислено в квартплате за месяц. А по условию задачи, всего начислено 1416 р. Получим уравнение: . Решение:

• 
  Слайд 23
  

  Выразим x: Выделив целую часть уравнения, получим:

• 
  Слайд 24
  

  Пусть выражение x тоже был целым. Заменим это выражение на t: будет целым, чтобы коэффициент Если , то

• 
  Слайд 25
  

  Теперь подставим значение y в уравнение X = 177 – 4y – 2z – t: . Значит

• 
  Слайд 26
  

  Придавая z иt произвольные целые значения, получим решение исходного уравнения:

• 
  Слайд 27
  

  В ходе данного исследования я овладела новыми математическими навыками, научилась решать диофантовы уравнения разными методами. На примерах показала, что умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути. Заключение: