Содержание
-
Замечательные треугольников точки и линии Замечательные треугольников точки и линии
-
СОДЕРЖАНИЕ Ортоцентр Точка пересечения медиан Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника Окружность Эйлера Прямая Эйлера Точка пересечения серединных перпендикуляров Точка пересечения биссектрис
-
Ортоцентртреугольника A1, B1, C1– основания высот∆ABC; H – ортоцентр ∆ABC A C B B1 H A1 C1 A C B H A1 B1 C1
-
Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника A B C О С1 В1 А1 A1, B1, C1– основания серединных перпендикуляров к сторонам ∆ABC; О – центр окружности, описанной около ∆ABC A C B A1 B1 C1 О
-
Точка пересечения биссектрис треугольника A C B V M N P M, N, P – основания биссектрис∆ABC; V – центр окружности, вписанной в ∆ABC
-
Точка пересечения медиан треугольника A B т.G – точкапересечения медиан треугольника ∆ABC. G С1 В1 А1 AG : GA1 = 2 : 1 BG : GB1 = 2 : 1 CG : GC1 = 2 : 1 C A1, B1, C1– основания медиан∆ABC;
-
Узнаем теорему о Точках, симметричных ортоцентруотносительно сторон треугольника
-
A C B B1 H A1 C1 А2 A1, B1, C1– основания высот; H – ортоцентр ∆ABC C2 B2 A2, B2, C2– точки, симметричные т.Нотносительно сторон ∆ABC Точки, симметричные ортоцентруотносительно сторон остроугольного треугольника Лежат ли точки А, А2, В, В2, С, С2 на одной окружности? ПРОВЕРКА Доказательство
-
Докажем, что т.А2 лежит на окружности, описанной около остроугольного ∆ABC A C B H А2 H – ортоцентр ∆ABC A2– точка, симметричная т.Н относительно стороны BC B1 Доказательство: Проведем отрезок ВА2. 2. ∆A1HB = ∆A1A2В; 3. ∆A1HB ~ ∆B1СВ; 4. Из 2. и 3.: ∆A1A2В ~∆B1СВ; 5. Из 4. : LA1A2В = LB1СВ; 6. Эти углы равны и опираются на отрезок АВ; 7. Сл-но, LA1A2В и LB1СВ вписаны в одну окружность с хордой АВ, а значит т.А2 принадлежит окружности, описанной около ∆ABC. Ч.Т.Д. A1 Точки, симметричные ортоцентруотносительно сторон остроугольного треугольника
-
A C B H A1 В2 B1 А2 НА1 = А1А2 C1 C2 НB1 = B1B2 НC1 = C1C2 ПРОВЕРКА Лежат ли точки А, А2, В, В2, С, С2 на одной окружности? Доказательство Точки, симметричные ортоцентруотносительно сторон тупоугольного треугольника
-
A C B H A1 В2 B1 А2 НА1 = А1А2 C1 C2 НB1 = B1B2 НC1 = C1C2 Докажем, что т. В2 лежит на окружности, описанной около тупоугольного ∆ABC. 1. Проведем отрезок АВ2. H – ортоцентр ∆ABC Доказательство: Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон тупоугольного треугольника 2. ∆AHB! = ∆AВ2В1; 3. ∆AHB1 ~ ∆ВСВ1 (т.к. ∆ВНА1 ~∆BСВ1, а следовательно, LA1НВ = LВСВ1); 4. Из 2. и 3. следует: ∆AВ2В1~∆BСВ1; 5. Из 4. следует: LAВ2В = L АСВ; 6. Эти углы равны и опираются на АВ; 7. Сл-но,LAВ2В и LАСВ вписаны в одну окружность с хордой АВ, а значит, т.В2 принадлежит окружности, описанной около ∆АBС. Ч.Т.Д.
-
Справедлива ли эта теорема для прямоугольного треугольника???
-
Познакомимся с окружностью Эйлера
-
A C B E D F B1 A1 C1 X Y Z Верите ли вы,что ПРОВЕРКА Доказательство В произвольном ∆АВС: Окружность Эйлера - середины его сторон А1,В1 , С1; - основания его высот D, E, F; - середины отрезков AH,BH,CH – точки X,Y,Z лежат на одной окружности? H
-
A C B B1 A1 C1 X Y Z E D F H Доказательство: 1. Т.к. АС1=С1В и АХ=ХН, то С1Х II BF. 2. Т.к. ВА1=А1С и А1С=С1В, то А1С1IIAC. 3. Т.к. BF ┴ AC, то С1Х ┴ А1С1. 4. Аналогично, В1Х ┴ А1В1. 5. Следовательно точки С1, А1, В1, Х – лежат на одной окружности. 6. Т.К. XD ┴ DA1, то X, D, A1, B1лежат на одной окружности. 7. Следовательно, точки X и D лежат на одной окружности, описанной около ∆А1В1С1. 8. Аналогично доказывается, что точки Y, E и Z, F лежат на этой окружности. Окружность Эйлера ? ? Ч.Т.Д.
-
A C B B1 A1 C1 X Y Z E D F H 1. Т.к. АС1=С1В и АХ=ХН, то С1Х II BF Окружность Эйлера ? В ∆АВН ХС1.- средняя линия. Следовательно, С1Х II BF .
-
A C B B1 A1 C1 X E D F H Точки С1, А1, В1, Х – лежат на одной окружности. Окружность Эйлера ? Доказано, что С1Х ┴ А1С1 и В1Х ┴ А1В1 Следовательно, в четырехугольнике А1В1ХС1.сумма противоположных углов равна 180º Т.е. LА1С1Х + LА1В1Х = 180º Следовательно, вокруг четырехугольника А1В1ХС1.можно описать окружность. Следовательно точки С1, А1, В1, Х – лежат на этой окружности.
-
Познакомимся с прямой Эйлера
-
A C B E D F B1 A1 C1 X Y Z Верите ли вы,что Доказательство G O ПРОВЕРКА N H лежат на одной прямой? - ортоцентр H, - центр тяжести G, - центр описанной около ∆АВС окружности т.O В произвольном ∆АВС: A1, B1, C1 – середины сторон∆АВС Прямая Эйлера
-
A C B D F B1 C1 G О N H Дано: Пусть в ∆АВС т.O-центр описанной окр-ти G – т. пересечения медиан В1, С1 – середины АС и АВ BF – высота Пусть т.Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF. Докажем, что Н – точка пересечения высот. 1.Т.к. BF II OB1, то ∆BGH ~ ∆B1GO. 2. Сл-но HG:GO=BG:GB1=2:1, 3. CG:GC1= 2:1. Значит, CG:GC1=HG:GO. Сл-но, ∆СGH ~ ∆С1GO. Доказательство: 4. Поэтому LGHС =LGOС1, а значит СНIIOC1, а ОС1 ┴ АВ. 5.Cл-но СН┴ АВ, т.е. CD – высота ∆АBС. 6. Значит т.Н – точка пересечения высот. Прямая Эйлера ? ? Ч.Т.Д.
-
A C B D F B1 C1 G О N H Дано: Пусть в ∆АВС т.O-центр описанной окр-ти G – т. пересечения медиан В1 – середина АС BF – высота Пусть т.Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF. 1.Т.к. BF II OB1, то ∆BGH ~ ∆B1GO. Доказательство: Прямая Эйлера ? О –центр описанной окружности, В1 – середина АС. Сл-но, ОВ1┴ АС. 2. ОВ1┴ АС, BF ┴ АС. Сл-но, BF II OB1 3. Т.к. BF II OB1, а L BGH и L B1GO – вертикальные, то соответственные углы ∆BGH и ∆ B1GO равны. Сл-но треугольники ∆BGH ~ ∆B1GO.
-
A C B D F B1 C1 G О N H Дано: Пусть в ∆АВС т.O-центр описанной окр-ти G – т. пересечения медиан В1, С1 – середины АС и АВ BF – высота Пусть т.Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF. 2.HG:GO=BG:GB1=2:1, CG:GC1=HG:GO. Прямая Эйлера ? BG:GB1=1:2, т.к. т. G – точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 ∆АBС, а значит делит медианы треугольника в отношении 2:1, считая от вершины.
-
A C B D F B1 C1 O N H Окружность Эйлера! Интересный факт! E A1 OB = 2.NA1 или Rописанной окр. = 2Rокр.Эйлера
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.