Презентация на тему "Подобные треугольники"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Министерство образования и науки У.Р.Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение«Средняя общеобразовательная школа №93

  Презентация по геометрии на тему: «Подобные треугольники». Выполнили: ученики 8В класса Поздеев Павел , Кузнецова Вера, Чуракова Арина , Тимофеев Денис, НамазоваНермин. Проверил: учитель геометрии Кузьмина Татьяна Александровна Ижевск 2013

• 
  Слайд 2

  Пропорциональные отрезки:

  Определение: Отрезки называются пропорциональными, если отношения их длин равны. Утверждение: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные противолежащим сторонам треугольника. B A D C AD/AB=DC/BC

• 
  Слайд 3

  Подобные треугольники:

  Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. А С В А1 В1 С1 АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1 – сходственные стороны.

• 
  Слайд 4
  

  Треугольник АВС ~ треугольнику А1В1С1

• 
  Слайд 5

  Коэффициент подобия:

  k=PABC / PA1B1C1 k2=SABC / SA1B1C1 AC/A1C1 = BH/B1H1 A B C H A1 B1 C1 H1

• 
  Слайд 6

  Отношение площадей подобных треугольников:

  Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство: Пусть треугольники ABC и A1B1C1подобны, а коэффициент подобия равен k. Площади этих треугольников S и S1. Т.к. угол А = углу А1, то S/S1=AB*AC/A1B1*A1C1по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Получили: AB/A1B1=k, AC/A1C1=k =>S/S1=k2. Теорема доказана.

• 
  Слайд 7

  1 признак подобия:

  треугольник ABC~треугольнику A1B1C1 B A1 B1 C1 А C Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

• 
  Слайд 8

  Доказательство:

  По теореме о сумме углов треугольника углы треугольника ABC равныуглам треугольника A 1B 1C 1 , т.к. углы треугольника A1B1C1 равны углам треугольника ABC, т.к. SABC / SA1B1C1 = AB*AC/A1B1*A1C1и SABC / SA1B1C1 = CA*CB/C1A1*C1A1 => AB/A1B1 = BC/B1C1и BC/B1C1 = CA/C1A1 Получили: стороны треугольника ABC пропорциональны сходсвенным сторонам треугольника A1B1C1. Теорема доказана. A B C A1 B1 C1

• 
  Слайд 9

  2 признак подобия:

  AB/A1B1 = AC/A1C1 треугольник ABC~ треугольнику A1B1C1 A C B A1 B1 C1 Теорема: Если 2 стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

• 
  Слайд 10

  Доказательство:

  A1 B1 C1 AB/A1B1 = AC/A1C1 C B A C2 1 2 Рассмотрим треугольник ABC2: <1= треугольник ABC 2~ треугольнику A1B1C1 по первому признаку подобия треугольников =>AB/A1B1 = AC2/A1C1. И AB/A1B1 = AC/A1C1 => AC=AC2. Получили: треугольник ABC = треугольнику ABC2 , т.к. AB-общая сторона, AC=AC2и <1=

• 
  Слайд 11

  3 признак подобия:

  AC/A1C1 = AB/A1B1 = BC/B1C1 => треугольник ABC ~ треугольнику A1B1C1 Теорема : Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого ,то такие треугольники подобны. C A B C1 B1 A1

• 
  Слайд 12

  Доказательство:

  A1 B1 C1 C B A C2 1 2 AC/A1C1 = AB/A1B1 = BC/B1C1 Рассмотрим треугольник ABC2: <1= треугольник ABC2~ треугольнику A1B1C1 => AB/A1B1=BC2/B1C1=C2A/C1A1. Получили:BC=BC2, AC=AC2. Треугольник ABC=ABC2 по трем сторонам

• 
  Слайд 13

  Задача.

  В треугольнике ABC сторона AB равна a, а высота CH равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне AB, а две другие – соответственно на сторонах AC и BC. Дано: CH = h ; AB = a ; PO=PR=RS=SO Найти: PR Решение: Рассмотрим треугольники PCR и ABC : 1) PR/AB = CH-TH/CH Пусть TH = PR = x, тогда x/a = h-x/h hx = a(h – x) hx = ah – ax ah – ax = hx ah = ax + hx ah = x(a + h) x = ah/h + a => PR = ah/h + a Ответ: PR = ah/h + a C R A S H O B P T

• 
  Слайд 14

  Средняя линия треугольникаи ее свойства:

  Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В Е С D A 1. DE||AB 2. DE=½ AB

• 
  Слайд 15

  Теорема и доказательство:

  Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Доказательство: Пусть MN-средняя линия треугольника ABC. Рассмотрим треугольники BMN и BAC: Угол В общий, BM/BA=BN/BC=½ => Треугольники подобны, поэтому угол1=углу2 и MN/AC=½ Получили: MN||AC, т.к. угол 1=углу 2 как соответственные и MN=½ AC. Теорема доказана. В С А М N 1 2

• 
  Слайд 16

  Свойства медианы треугольника:

  1. АА1 пересекается с ВВ1 пересекается с СС1=О 2. АО/ОА1=2/1, ВО/ОВ1=2/1, СО/ОС1=2/1 В A1 C B1 A C1 O

• 
  Слайд 17

  Доказательство:

  Пользуясь теоремой о средней линии докажем. Т.к. угол 1 и угол 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие => треугольник AOB~треугольнику A1B1C1 по двум углам =>AO=A1O/BO=B1O=AB/A1B1 Но AB=2A1B1=>AO=2A1O и BO=2B1O => Точка О пересечения медиан АА1 и ВВ1 Делит каждую из них в отношении 2:1. Получили: все три медианы треугольника ABC пересекаются в отношении 2:1 A C1 B A1 C B1 1 4 2 3

• 
  Слайд 18

  Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

  1.Рассмотрим треугольник ABC : треугольник ACD ~ треугольникуCDB треугольник ACD ~ треугольнику ACB треугольник CDB~ треугольнику ACB 2. CD = AD * DB 3.AC=AB * AD CB = AB * DB 4. CB2/ AC2= AD / DB B A C D

• 
  Слайд 19

  Задача.

  Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Дано:

• 
  Слайд 20

  Утверждения с доказательствами.

  1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямогоугла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Доказательство: Исходя из задачи предыдущего слайда, ADC ~ CBD, Поэтому AD/CD = CD/DB, и, следовательно, CD2 = AD * DB, откуда CD = AD * DB 2) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой , проведенной из вершины прямого угла. Доказательство: Исходя из задачи предыдущего слайда, ABC ~ ACD, Поэтому AB/AC = AC/AD, и, следовательно, AC = AB * AD A C B D

• 
  Слайд 21

  Литература:

  1.Учебник для общеобразовательных учреждений по геометрии,7-9 классы, Москва «Просвещение» 2010 г. Искали информацию и составляли слайды: Чуракова Арина Тимофеев Денис, Поздеев Павел Решала задачу Кузнецова Вера Рассказывали: НамазоваНермин, Кузнецова Вера