Презентация на тему "Описанная окружность"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Описанная окружность

• 
  Слайд 2
  

  Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. На каком рисунке окружность описана около треугольника: 1) 2) 3) 4) 5) Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.

• 
  Слайд 3
  

  Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. А В С Дано: АВС Доказать: существует Окр.(О; r), описанная около АВС. Доказательство: Проведём серединные перпендикуляры p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (замечательная точка треугольника): они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС. Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит, они лежат на окружности с центром О. Значит, окружность описана около треугольника АВС. О n p k

• 
  Слайд 4
  

  Важное свойство: Если окружность описана около прямоугольного треугольника,то её центр – середина гипотенузы. O R R C A B R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

• 
  Слайд 5
  

  a b c R R = Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности Задача: найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение: R = R = , Ответ: см (см)

• 
  Слайд 6
  

  Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника. А В С О Н Решение: Т. к. окружность описана около равнобедренного треугольника АВС, то центр окружности лежит на высоте ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АОН – прямоугольный, АО2 = АН2 + АН2, АН2 = 102 – 62 = 64, АН = 8 см АВН – прямоугольный, АВ2 = АН2 + ВН2 = 82 + 162 = 64 + 256= 320, АВ = (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), SАВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см2) Ответ: АВ = см S = 128 см2 , Найти: АВ, SАВС Дано: АВС- р/б, ВН АС, ВН = 16 см Окр.(О; 10 см) описана около АВС

• 
  Слайд 7
  

  Определение:окружность называется описанной около четырёхугольника, если все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Теорема.Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800. Доказательство: Т. к. окружность описана около АВСD, то А, В, С, D – вписанные, значит, А + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ ( BCD + BAD) = ½ · 3600 = 1800 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ ( ADC+ ABC) = ½ · 3600 = 1800 A + C = B + D = 1800 Дано: Окр.(О;R) описана около АВСD Доказать: Значит, A + C = B + D = 1800 Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800. A B C D О

• 
  Слайд 8
  

  Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. Дано: АВСD, A + C = 1800 A B C D О Доказать: Окр.(О;R) описана около АВСD Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?

• 
  Слайд 9
  

  А В С К Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать окружность, её центр – точка пересечения диагоналей. Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

• 
  Слайд 10
  

  Реши задачи 800 1200 ? ? А В С М К Н О Р Е 700 Найти углы четырёхугольника РКЕН: 800